Задача о шарике и мертвой петле

В  этой статье будет рассмотрена всего одна задача: задача на закон сохранения энергии. Задача такая:

Шарик скатывается с возвышенности и делает мертвую петлю радиусом $R$. Какова минимальная высота такой возвышенности? Трением пренебречь.

Задача Григория Левиева

Рассмотрим картинку. В начале своего движения шарик еще не обладает скоростью, поэтому его кинетическая энергия нулевая. Зато он обладает потенциальной энергией, поскольку находится на высоте $H$. Примем основание петли за нулевой уровень потенциальной энергии, тогда $E_{pot1}=mgH$.

Когда шарик скатится вниз, его потенциальная энергия перейдет в кинетическую, и он будет обладать скоростью $\upsilon_1$.Кинетическая энергия шарика будет равна $E_{k1}=\frac{m{\upsilon_1}^2}{2}$. Эта энергия равна его потенциальной энергии в точке старта:

$$ E_{k1}= E_{pot1}$$

$$\frac{m{\upsilon_1}^2}{2}= mgH$$

$${\upsilon_1}^2= 2gH$$

Тогда искомая исходная высота будет:

$$H=\frac{{\upsilon_1}^2}{2g}$$

Потом шарик оказывается в верхней точке петли. Здесь, чтобы удержаться, он должен обладать минимальным центростремительным ускорением. А минимальным оно будет, если будет равно ускорению свободного падения:

$$a_{z}=g$$

Одновременно вспомним, что $a_{z}=\frac{{\upsilon_2}^2}{R}=g$, поэтому

$${\upsilon_2}^2=gR$$

Кинетическая энергия шарика в верхней точке петли:

$$E_{k2}=\frac{m{\upsilon_2}^2}{2}$$

Потенциальная энергия шарика в верхней точке петли:

$$E_{pot2}=2mgR$$

Таким образом, кинетическая энергия шарика, которая наличествовала в нижней точке петли, частично перейдет в потенциальную, когда он поднимется в верхнюю ее точку:

$$E_{k2}+ E_{pot2}= E_{k1}$$

$$\frac{m{\upsilon_2}^2}{2}+2mgR=\frac{m{\upsilon_1}^2}{2}$$

Масса шарика сокращается:

$$\frac{{\upsilon_2}^2}{2}+2gR=\frac{{\upsilon_1}^2}{2}$$

Домножим на 2:

$${\upsilon_2}^2+4gR={\upsilon_1}^2$$

Вспомним, что ${\upsilon_2}^2=gR$, следовательно,

$${\upsilon_1}^2=5gR$$

Найдем теперь высоту старта:

$$H=\frac{{\upsilon_1}^2}{2g}=\frac{5gR}{2g}=2,5R$$

Ответ: $H=2,5R$