Задача Гюйгенса

Христиан Гюйгенс считал: если шар вращать на невесомой и нерастяжимой нити в вертикальной плоскости, то нить должна выдерживать, по меньшей мере, силу натяжения, равную ушестеренной силе тяжести шара. Верно ли это?

Задача.  Христиан Гюйгенс считал: если шар вращать на невесомой и нерастяжимой нити в вертикальной плоскости, то нить должна выдерживать, по меньшей мере, силу натяжения, равную ушестеренной силе тяжести шара. Верно ли это?

Давайте рассуждать. Нить – не стержень, она не способна удержать шар в верхнем положении, если этот шар не будет обладать скоростью. Поэтому, чтобы шар мог не только достичь верхней точки траектории, но и пройти ее, необходимо, чтобы он обладал скоростью, которая обеспечит достаточное нормальное ускорение шара. Таким достаточным ускорением, очевидно, должно быть ускорение, равное ускорению свободного падения:

Шарик на нити

$$ma_n=mg$$

Тогда для верхней точки траектории имеем:

$$a_n=g=\frac{\upsilon^2}{L}$$

Откуда

$$\upsilon^2=gL$$

Кроме того, если считать нижнюю точку нулевым уровнем потенциальной энергии, то в нижней точке $E_{p0}=0$, а в верхней $E_p=mg\cdot 2L=2mgL$.

Таким образом, в нижней точке шар обладает кинетической энергией, равной

$$E_{k0}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

А в верхней точке у него есть как запас кинетической, так и потенциальной энергии:

$$E_p+E_k=2mgL+\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Тогда по закону сохранения энергии:

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=2mgL+\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Разделим на массу и домножим на 2:

$$\upsilon_0^2=4gL+\upsilon^2$$

Подставим скорость в верхней точке, найденную ранее:

$$\upsilon_0^2=4gL+gl=5gl$$

Такая скорость обеспечит шару в нижней точке нормальное ускорение, равное $a_{n0}=5g$. Если вспомнить, что на шар действует еще и сила тяжести, равная $mg$, и записать для нижней точки второй закон Ньютона, то получим:

$$mg+F_n=T$$

$$T_0=mg+5mg=6mg$$

Выходит, Гюйгенс был прав.