Тележка и мертвая петля

И снова сохранение энергии. Запустим тележку в «мертвую петлю»!

Задача. Небольшая тележка совершает мертвую петлю радиуса 2 м, скатываясь с минимальной высоты, обеспечивающей прохождение всей петли. На какой высоте $h$ сила давления на рельсы равна 1,5 силы тяжести тележки? Принять $g=10$ м/с$^2$.

Рисунок 1

Сначала определим минимально необходимую высоту для того, чтобы тележка прошла петлю. Условием прохождения петли является ненулевая сила реакции опоры во всех точках петли, кроме самой верхней. Для этой верхней точки составляем второй закон Ньютона:

$$ma_n=mg$$

Или

$$\frac{\upsilon^2}{R}=g$$

$$\upsilon^2=gR$$

Теперь, когда мы знаем необходимую минимальную скорость в вершине петли $\upsilon$, составим закон сохранения энергии:

$$mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}+mg\cdot 2R$$

Откуда

$$H=\frac{\upsilon^2}{2g}+2R=\frac{R}{2}+2R=2,5R$$

Теперь рассмотрим точку, в которой сила давления на рельсы равна 1,5 силы тяжести тележки. Составим для нее второй закон Ньютона в проекциях на радиальную ось:

Рисунок 2

$$ma_{n1}=mg\cos{\alpha}+N= mg\cos{\alpha}+1,5mg $$

$$a_{n1}=g\cos{\alpha}+\frac{N}{m}= g\cos{\alpha}+1,5g $$

Скорость в этой точке иная ($u$), поэтому

$$a_{n1}=\frac{u^2}{R}$$

$$u^2= Rg\cos{\alpha}+1,5Rg $$

Составим теперь закон сохранения энергии для этой точки:

$$mgH=\frac{m u^2}{2}+mgh$$

$$H=\frac{ u^2}{2g}+h$$

Подставим сюда ранее найденную высоту $H$:

$$2,5R=\frac{ Rg\cos{\alpha}+1,5Rg }{2g}+h=\frac{R}{2}\cos{\alpha}+0,75R+h$$

Косинус угла $\alpha$ равен:

$$\cos{\alpha}=\frac{h-R}{R}$$

Тогда

$$1,75R=\frac{R}{2}\cdot\frac{h-R}{R}+h=\frac{h-R}{2}+h$$

$$2,25R=1,5h$$

$$h=1,5R=3$$

Ответ: 3 м.