Столкновения круглых тел

Задача 1.

Два одинаковых гладких упругих цилиндра B и C радиуса $R$ и высоты $h$, стоящие на гладкой горизонтальной поверхности, касаются один другого. Третий цилиндр A из того же материала, имеющий радиус $2R$ и высоту $2h$, скользит по поверхности и ударяется одновременно о цилиндры B и C. Во сколько раз уменьшилась скорость цилиндра А после удара?  Ответ округлить до сотых.

Решение. Воспользуемся законом сохранения импульса. Так как радиус цилиндра А вдвое больше, чем у В и С, и высота вдвое больше, то объем цилиндра А больше объема цилиндра В в 8 раз. А значит, и масса его больше в 8 раз. А теперь, зная массы, можно применить закон сохранения импульса. При этом запишем его в проекциях на горизонтальную ось.

$$8m\cdot \upsilon_A=8m\cdot \upsilon+2m u \cos \alpha$$

Здесь $\upsilon_A$ - скорость цилиндра A до столкновения, $\upsilon$ - скорость цилиндра A после столкновения, $u$ - скорости цилиндров В и С.

Рисунок к задаче 1

Преобразуем

$$4m\cdot \upsilon_A=4m\cdot \upsilon+m u \cos \alpha$$

Упростим таким образом (потом станет ясно, зачем):

$$4\upsilon_A-4\upsilon= u \cos \alpha$$

$$4(\upsilon_A-\upsilon)= u \cos \alpha$$

Пока оставим уравнение в таком виде. И запишем второе, по закону сохранения энергии:

$$\frac{8m\upsilon_A^2}{2}=\frac{8m\upsilon^2}{2}+2\cdot \frac{mu^2}{2}$$

$$4m\upsilon_A^2=4m\upsilon^2+mu^2$$

$$4(\upsilon_A^2-\upsilon^2)=u^2$$

Вот теперь понятно, что в таком виде уравнения, составленные по закону сохранения энергии и по закону сохранения импульса, очень удобно делить друг на друга:

$$\upsilon_A+\upsilon=\frac{u}{\cos \alpha }$$

$$(\upsilon_A+\upsilon) \cos \alpha = u \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(*)$$

Из рисунка хорошо видно, что $\sin\alpha=\frac{1}{3}$, а, зная синус, легко найти косинус:

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Но ведь можно использовать закон сохранения импульса и в таком виде:

$$\upsilon_A-\upsilon= \frac{u \cos \alpha}{4}$$

Подставим (*):

$$\upsilon_A-\upsilon= \frac{(\upsilon_A+\upsilon)  \cos \alpha^2}{4}$$

$$\upsilon_A-\upsilon= \frac{(\upsilon_A+\upsilon)  8}{4\cdot 9}$$

$$\upsilon_A-\frac{2}{9}\upsilon_A=\upsilon+ \frac{2}{9}\upsilon$$

$$\frac{7}{9}\upsilon_A=\frac{11}{9}\upsilon$$

$$7\upsilon_A=11\upsilon$$

И, наконец:

$$\frac{\upsilon }{\upsilon_A }=\frac{7}{11}$$

Ответ: $\frac{\upsilon }{\upsilon_A }=\frac{7}{11}$

Задача 2.

Шары 1 и 2, связанные пружиной жесткостью $k$ лежат на гладком столе. Шар 3 налетает «в лоб» на шар 1 со скоростью $\upsilon_0$. Масса каждого из шаров равна $m$. Найдите максимальное удлинение пружины. Рассмотрите два случая: а) удар упругий; б) в результате удара шары 1 и 3 «слиплись».

Рисунок к задаче 2

Решение. Рассмотрим сначала случай а). Удар упругий, следовательно, шар 3 передает свою скорость шару 1, а сам останавливается (массы шаров равны). Теперь можно про шар 3 забыть и рассматривать систему шаров 1-2. Так как скорость шара 1 равна сразу после столкновения $\upsilon_0$, а шар 2 покоится, то центр масс системы шаров 1-2 движется со скоростью $\frac{\upsilon_0}{2}$. Переходим в систему отсчета, связанную с центром масс системы шаров 1-2. Шары в этой системе оба имеют скорости $\frac{\upsilon_0}{2}$, направленные навстречу друг другу. Поэтому можно записать закон сохранения энергии в таком виде:

$$\frac{k x_{max1}^2}{2}=2\cdot \frac{m\left(\frac{\upsilon_0}{2}\right)^2}{2}$$

Откуда

$$ x_{max1}=\upsilon_0\sqrt{\frac{m}{2k}}$$

Случай б). Удар неупругий, и шары 3 и 1 слипаются, образуя тело массой $2m$. Поэтому для удара шаров 1 и 3 по закону сохранения импульса скорость этого составного тела равна $\frac{\upsilon_0}{2}$. Скорость движения центра масс в этом случае равна $\frac{\upsilon_0}{3}$. Тогда составное тело имеет скорость относительно центра масс

$$\frac{\upsilon_0}{2}-\frac{\upsilon_0}{3}=\frac{\upsilon_0}{6}$$

А скорость шара 2 - $\frac{\upsilon_0}{3}$.

Пишем закон сохранения энергии:

$$\frac{k x_{max2}^2}{2}=\frac{2m\left(\frac{\upsilon_0}{6}\right)^2}{2}+\frac{m\left(\frac{\upsilon_0}{3}\right)^2}{2}$$

$$\frac{k x_{max2}^2}{2}=\frac{m\upsilon_0^2}{36}+\frac{m\upsilon_0^2}{18}$$

$$ x_{max2}=\upsilon_0\sqrt{\frac{m}{6k}}$$

Ответ: a) $ x_{max1}=\upsilon_0\sqrt{\frac{m}{2k}}$;  б) $ x_{max2}=\upsilon_0\sqrt{\frac{m}{6k}}$.