Сохранение импульса при нецентральном ударе

Две не очень простые задачи принесла ученица, на тему закона сохранения импульса. А у нас, репетиторов «вижу задачу – теряю волю, бросаюсь решать» - это обычная «болезнь».

Задача 1.

На покоящийся шар налетает шар такой же массы. Найдите угол разлета шаров после упругого нецентрального удара.

Рисунок 1

Рассмотрим рисунок. Запишем для этого треугольника теорему косинусов

$$p_0^2=p_1^2+p_2^2+2p_1p_2\cos{\alpha}$$

А теперь запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{p_0^2}{2m_1}=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}$$

Сопоставляя оба равенства, видим, что при $m_1=m_2$ должно выполняться $\cos{\alpha}=0$. При этом условии угол $\alpha=90^{\circ}$.

Ответ: $\alpha=90^{\circ}$, смежный угол такой же.

Задача 2.

Упругий шар, движущийся со скоростью $\upsilon_1$, налетает на покоящийся упругий шар вдвое меньшей массы и после удара продолжает движение под углом $\alpha$ к первоначальному направлению. Найти модули скоростей шаров после удара, если $\alpha=30^{\circ}$.

Запишем закон сохранения импульса по осям $x$ и $y$ и закон сохранения энергии.

$$\begin{Bmatrix}{ m\upsilon_1 =mu_1\cos{\alpha}+\frac{m}{2}u_{2x}}\\{ 0=-mu_1\sin{\alpha}+\frac{m}{2}u_{2y}\\{\quicklatex{ size=22}\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{mu_1^2}{2}+\frac{\frac{m}{2}(u_{2x}^2+u_{2y}^2)}{2}}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ \upsilon_1 =u_1\cos{\alpha}+\frac{ u_{2x}}{2} }\\{ u_1\sin{\alpha}=\frac{ u_{2y}}{2} \\{\quicklatex{ size=22}\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{mu_1^2}{2}+\frac{\frac{m}{2}(u_{2x}^2+u_{2y}^2)}{2}}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ u_{2x}=2\upsilon_1 -2u_1\cos{\alpha} }\\{ u_{2y}=2u_1\sin{\alpha}} \\{\quicklatex{ size=22}\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{mu_1^2}{2}+\frac{\frac{m}{2}(u_{2x}^2+u_{2y}^2)}{2}}}\end{matrix}$$

Возведем в квадрат первые два уравнения:

$$u_{2x}^2=4\upsilon_1^2-8u_1\upsilon_1\cos{\alpha}+4u_1^2\cos^2{\alpha}$$

$$u_{2y}^2=4u_1^2\sin^2{\alpha}$$

Сложим уравнения:

$$ u_{2x}^2+ u_{2y}^2=4\upsilon_1^2-8u_1\upsilon_1\cos{\alpha}+4u_1^2$$

Закон сохранения энергии запишем, подставив полученную выше сумму квадратов:

$$\upsilon^2=u_1^2+2\upsilon_1^2-4u_1\upsilon_1\cos{\alpha}+2u_1^2$$

$$3u_1^2+4u_1\upsilon_1\cos{\alpha}-\upsilon_1^2=0$$

Подставим известное значение угла:

$$\upsilon_1^2-2u_1\upsilon_1\sqrt{3}-3u_1^2=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=4u_1^2\cdot 3-4\cdot 3 u_1^2=0$$

Тогда

$$\upsilon_1=\frac{2 u_1\sqrt{3}}{2}= u_1\sqrt{3}$$

$$u_1=\frac{\upsilon_1}{\sqrt{3}}$$

Тогда

$$u_{2y}=2\frac{\upsilon_1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\upsilon_1}{\sqrt{3}}$$

$$ u_{2x}=2\upsilon_1-2\frac{\upsilon_1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\upsilon_1$$

Следовательно,

$$u_2=\sqrt{\frac{\upsilon_1^2}{3}+\upsilon_1^2}=\frac{2\upsilon_1}{\sqrt{3}}$$