Сохранение энергии: задачи для закрепления

В этой статье представлены простые задачи. Их хорошо использовать для того, чтобы "набить руку" и запомнить формулы.

Задача 1.

Камень массой 2 кг бросают вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Какова начальная кинетическая энергия камня? Какова потенциальная энергия камня на максимальной высоте? Каково значение максимальной высоты подъема? Какова скорость камня на половине максимальной высоты?

Зная массу камня и его скорость, легко определить его кинетическую энергию:

$$E_k=\frac{m \upsilon^2}{2}=400$$

Такой же – 400 Дж – будет и потенциальная энергия камня, так как вся кинетическая перейдет в потенциальную. Определим максимальную высоту подъема:

$$E_p= mgh= E_k$$

$$h=\frac{ E_k }{mg}=20$$

Определим скорость камня на половине высоты. Часть его энергии перешла в потенциальную, эта энергия может быть найдена как $\frac{mgh}{2}$. Оставшаяся часть – это кинетическая энергия камня, и по ней мы определим скорость:

$$E_{k1}=E_k-\frac{mgh}{2}=\frac{m\upsilon_1^2}{2}$$
$$\upsilon_1^2= \frac{2E_k}{m}-gh$$

$$\upsilon_1=\sqrt{ \frac{2E_k}{m}-gh}=\sqrt{400-200}=14,1$$

Ответ: $E_p=  E_k=400$ Дж, $h=20$ м, $\upsilon_1=14,1$ м/с.

Задача 2.

Цилиндр один раз скатывается по наклонной плоскости с высоты $H$, а другой раз – съезжает, поставленный на основание. Коэффициент трения равен $\mu$. Угол наклона плоскости к горизонту - $\alpha$. Определить, в каком случае скорость цилиндра у основания плоскости больше.

При скатывании трением можно пренебречь – оно очень мало, и считать, что вся потенциальная энергия цилиндра перейдет в кинетическую. Поэтому

$$E_p=mgh=E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Откуда

$$\upsilon=\sqrt{2gh}$$

Если цилиндр сползает на основании, то появятся потери на преодоление силы трения:

$$E_p=E_{k2}+A_{tr}$$

$$E_{k2}= E_p- A_{tr}$$

$$ E_{k2}= \frac{m\upsilon_1^2}{2} $$

$$E_p=mgh$$

$$A_{tr}=lF_{tr}=\mu N l=\mu mg \cos{\alpha} l$$

Таким образом,

$$\frac{m\upsilon_1^2}{2}=mgh-\mu mg \cos{\alpha} $$

$$\upsilon_1= \sqrt{2gh-2\mu g \cos{\alpha}} $$

Очевидно, что из двух величин - $\upsilon=\sqrt{2gh}$ и $\upsilon_1= \sqrt{2gh-2\mu g \cos{\alpha}} $ первая больше.

Задача 3.

Тележка на «американских горках» начинает движение без начальной скорости в наивысшей точке на высоте $h=20$ м над землей. Она резко опускается вниз до высоты $h_1=2$ м и затем круто взмывает вверх до вершины следующей горы, которая расположена на высоте $h_2=15$ м. Какова скорость тележки в желобе на высоте 2 м и на 15-метровой вершине, если потерями энергии на трение можно пренебречь?

К задаче 3

Сначала тележка обладает только потенциальной энергией, равной

$$E_{p}=mgh$$

На высоте 2 м тележка обладает кинетической $E_{k1}$ и потенциальной $E_{p1}$ энергией, вторая равна

$$E_{p1}=mgh_1$$

Тогда кинетическая энергия тележки равна разности:

$$E_{k1}= E_{p}- E_{p1}=mg(h-h_1)$$

Скорость тележки на высоте 2 м:

$$\frac{m\upsilon_1^2}{2}=mg(h-h_1)$$
$$\upsilon_1=\sqrt{ 2g(h-h_1)}=\sqrt{360}=19$$

Аналогично,  на высоте 15 м тележка также обладает кинетической и потенциальной энергией.

$$E_{k2}= E_{p}- E_{p2}=mg(h-h_2)$$

$$\frac{m\upsilon_2^2}{2}=mg(h-h_2)$$
$$\upsilon_2=\sqrt{ 2g(h-h_2)}=\sqrt{100}=10$$

Ответ: на высоте 2 м скорость тележки 19 м/с, на высоте 15 м – 10 м/с

Задача 4.

Стрела вылетает из арбалета вертикально вверх со скоростью 60 м/с. На какую высоту поднимется стрела, если ее масса равна 200 г? На какую высоту поднимется стрела вдвое большей массы? Потерями энергии пренебречь.

К задаче 4

Высота, на которую поднимется стрела, можно вычислить, зная, что вся ее кинетическая энергия перейдет в потенциальную.

$$E_k=E_p$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgh$$
$$h=\frac{\upsilon^2}{2g}$$

Как видно, эта высота не зависит от массы стрелы, а зависит только от ее начальной скорости, поэтому обе стрелы взлетят одинаково высоко:

$$h=\frac{60^2}{20}=180$$

Ответ: 180 м, независимо от массы.

Задача 5.  Пружинное ружье выстреливает шарик вертикально вверх на высоту 30 см, если пружина сжата на 1 см. Какова начальная скорость полета шарика? На какую высоту поднимается шарик, если эту пружину сжать на 3 см?

Потенциальная энергия сжатой пружины зависит от растяжения (сжатия) пружины так:

$$E_{p1}=\frac{k \Delta x^2}{2}$$

А высота полета шарика:

$$h_1=\frac{ E_{p1}}{mg}$$

Поэтому, если изменить $\Delta x$ в три раза, то энергия изменится в 9 раз:

$$E_{p2}=\frac{k (3\Delta x)^2}{2}=\frac{9k \Delta x^2}{2}=9E_p$$

Следовательно, потенциальная энергия шарика тоже станет в 9 раз больше, а так как высота взлета равна:

$$h_2=\frac{ E_{p2}}{mg}=\frac{ 9E_{p1}}{mg}=9h_1=2,7$$

Ответ: 2,7 м.