Сохранение энергии: простые задачи - 2.

Тренируем запоминанием формул, в том числе - формул кинематики. Задачи очень несложные, и я предлагаю вам попробовать сначала решить их самостоятельно.

К задаче 1

Задача 1.

Пуля, вылетевшая из винтовки со скоростью 1000 м/с, упала на землю со скоростью 500 м/с. Какая работа была совершена силой сопротивления воздуха, если масса пули 10 г?

Кинетическая энергия определяется скоростью пули. Если скорость пули уменьшилась, то это означает и уменьшение кинетической энергии пули. Величина, на которую изменилась энергия – это работа силы сопротивления воздуха:

$$A=\frac{m\upsilon_2^2}{2}-\frac{m\upsilon_1^2}{2}$$

$$A=\frac{10^{-2}\cdot0,25\cdot10^6}{2}-\frac{10^{-2}\cdot10^6}{2}=-3750$$

Ответ: -3750 Дж

Задача 2.  Тело с начальной скоростью 14 м/с падает с высоты 240 м и углубляется в песок на 0,2 м. Определите среднюю силу сопротивления песка. Сопротивление воздуха не учитывать. Масса тела 1 кг.

Первоначально, на высоте, у тела есть запас как кинетической, так и потенциальной энергии. При подлете к земле вся эта энергия перейдет в кинетическую. Затем тело потратит эту энергию на преодоление силы сопротивления, таким образом, вся энергия тела превратится в работу этой силы. А  зная работу, мы найдем и саму силу.

Первоначально тело обладает энергией:

$$E_p+E_k=mgh+\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

При подлете к земле энергия тела переходит в кинетическую:

$$\frac{m\upsilon_1^2}{2}= mgh+\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

Работа силы сопротивления равна:

$$A=FS=\frac{m\upsilon_1^2}{2}$$

Тогда сила равна:

$$F=\frac{m(2gh+\upsilon_0^2)}{2S}$$

$$F=\frac{2\cdot9,8 \cdot240+14^2}{0,4}=12480$$

Ответ: 12480 Н

К задаче 3 и 4

Задача 3.

От удара копра массой 500 кг, свободно падающего с некоторой высоты, свая погружается в грунт на 1 см. Определите силу сопротивления грунта, считая ее постоянной, если скорость копра перед ударом равна 10 м/с. Массой сваи пренебречь.

Предлагаю вам решить эту задачу самим, она проще предыдущей. Приведу ответ: $F=2,5$ МН.

Задача 4.

Сваю массой 100 кг забивают в грунт копром, масса которого 400 кг. Копер свободно падает с высоты 5 м, и при каждом ударе свая опускается на глубину 5 см. Определите среднюю силу сопротивления грунта.
В данном случае грунт сопротивляется свае, следовательно, кинетическая энергия сваи перешла в работу силы сопротивления грунта. Определим скорость сваи по закону сохранения импульса:

$$m_k \upsilon_k=\upsilon(m_k+m_s)$$

Здесь $m_k$ - масса копра, $ m_s$ - масса сваи, $\upsilon_k$ - скорость копра перед ударом; $\upsilon$ - скорость системы свая-копер.

Определим скорость копра перед ударом:

$$\upsilon_k=\sqrt{2gH}$$

Тогда

$$\upsilon=\frac{ m_k \upsilon_k }{ m_k+m_s}=\frac{ m_k \sqrt{2gH} }{ m_k+m_s}$$

Возведем в квадрат, так как кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости:

$$\upsilon^2=\frac{ m_k^2 \cdot 2gH }{ (m_k+m_s)^2}$$

Работа силы сопротивления равна $A=FS$, а с другой стороны равна кинетической энергии системы свая-копер:

$$E_k=\frac{( m_k+m_s)\upsilon^2}{2}=\frac{ m_k^2 \cdot 2gH }{ 2(m_k+m_s)}$$

Тогда сила сопротивления равна:

$$F=\frac{ m_k^2 \cdot 2gH }{ 2S(m_k+m_s)}$$

Подставим числа:

$$F=\frac{ 400^2 \cdot 2\cdot10\cdot5 }{ 2\cdot0,05(400+100)}=320 000$$

Ответ: $F=320$ кН.