Сохранение энергии и кинематика

Здесь собраны хорошие простые задачи, которые помогут закрепить тему сохранения энергии, и заодно вспомнить закон Гука, формулы кинематики и закон сохранения импульса.

Задача 1.

При подготовке игрушечного пистолета к выстрелу пружину жесткостью 800 Н/м сжали на 5 см. Какую скорость приобретет пуля массой 20 г при выстреле в горизонтальном направлении?

В сжатой пружине аккумулирована энергия

$$E_p=\frac{kx^2}{2}$$

Эта энергия при выстреле будет передана пуле:

$$E_k=E_p=\frac{m \upsilon^2}{2}$$

Откуда скорость пули

$$\upsilon=x\sqrt{\frac{k}{m}}= 0,05\sqrt{\frac{800}{0,02}}=10$$

Ответ: $\upsilon=10$ м/с.

Задача 2.

Хоккейная шайба массой 160 г, летящая со скоростью 20 м/с, влетела в ворота и ударила в сетку, которая при этом прогнулась на 6,4 см. Какова максимальная сила, с которой шайба подействовала на сетку? Считать, что сила упругости сетки изменяется в зависимости от ее прогиба по закону Гука.

К задаче 2

Шайба обладала кинетической энергией, которую и передала сетке.

$$E_k =\frac{m \upsilon^2}{2}=E_p $$

$$E_p=\frac{kx^2}{2}$$

$$ m \upsilon^2= kx^2$$

Сила, с которой шайба подействовала на сетку, может быть найдена по закону Гука:

$$F=kx$$

Тогда

$$ m \upsilon^2= Fx$$

$$F=\frac{ m \upsilon^2}{x}=\frac{ 0,16\cdot 400}{0,064}=1000$$

Ответ: $F=1000$ Н.

К задаче 3

Задача 3.

На «американских горах» имеется мертвая петля. Ее радиус 10 м. С какой минимальной высоты $h$ над дном петли должна двигаться тележка, чтобы удержаться на колее, если потерями энергии на трение можно пренебречь?

Чтобы тележка удержалась в верхней части петли, необходимо, чтобы центробежная сила (сила инерции) была бы равна силе тяжести:

$$m a_n=mg$$

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=g$$

Откуда

$$\upsilon^2=Rg$$

Теперь запишем закон сохранения энергии для тележки. В верхней точке петли она будет обладать как кинетической, так и потенциальной энергией:

$$E=\frac{ m \upsilon^2}{2}+mg\cdot 2R=m(\frac{Rg}{2}+2Rg)=2,5 m g R$$
Поэтому тележка должна стартовать из точки на такой высоте, чтобы потенциальная ее энергия была бы равна $2,5 m g R$^

$$E_p=mgh=2,5 m g R$$

Откуда $h=2,5R=25$ м.

Ответ: $h=25$ м.

Задача 4.

Неупругие шары массами 1 кг и 2 кг движутся навстречу друг другу со скоростями соответственно равными1 м/с и 2 м/с. Найдите изменение кинетической энергии системы после удара.

Применим закон сохранения импульса:

$$m_1 \upsilon_1-m_2\upsilon_2=(m_1+m_2)\upsilon$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{ m_1 \upsilon_1-m_2\upsilon_2}{ m_1+m_2}=\frac{ 1-4}{ 3}=-1$$

Минус свидетельствует о том, что система после слипания будет двигаться в ту же сторону, куда двигался шар с большей скоростью, а его скорость мы направили против оси $x$, и поэтому поставили в первом уравнении «минус» перед $ m_2\upsilon_2$. Для того, чтобы определить изменение кинетической энергии системы, совершенно неважно, куда направлена эта скорость, а важна ее величина. Система обладала кинетической энергией:

$$E_{k1}=\frac{ m_1 \upsilon_1^2}{2}+\frac{ m_2 \upsilon_2^2}{2}$$

А после слипания шаров ее кинетическая энергия стала равна:

$$E_{k2}=\frac{ (m_1+m_2) \upsilon^2}{2}$$

Тогда изменение энергии:

$$\Delta E=E_{k2}- E_{k1}=\frac{ (m_1+m_2) \upsilon^2}{2}-\frac{ m_1 \upsilon_1^2}{2}-\frac{ m_2 \upsilon_2^2}{2}=\frac{ (m_1 \upsilon_1-m_2\upsilon_2)^2}{2 (m_1+m_2)}-\frac{ m_1 \upsilon_1^2}{2}-\frac{ m_2 \upsilon_2^2}{2}=$$

$$=\frac{(-3)^2}{2 \cdot 3}-\frac{ 1}{2}-4=-3$$

Ответ: $\Delta E=-3$ Дж.

Задача 5.

Троллейбус массой 15 т трогается с места с ускорением 1‚4 м/с$^2$. Найдите работу силы тяги и работу силы сопротивления на первых 10 м пути, если коэффициент трения равен 0,02. Какую кинетическую энергию приобрел троллейбус?

К задаче 5

Определим работу силы трения. Сама сила трения равна $\mu N$, а сила реакции опоры в данном случае – это сила тяжести:

$$A_{tr}=-F_{tr}\cdot S=-\mu N \cdot S=-\mu mg \cdot S=-0,02\cdot 15000 \cdot 10\cdot 10=-30 000$$

Сила тяги должна совершить такую работу, чтобы покрыть затраты на трение да еще придать троллейбусу кинетическую энергию:

$$A_t=A_{tr}+E_k= A_{tr}+\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Квадрат скорости найдем из формулы

$$2aS=\upsilon^2-\upsilon_0^2$$

В нашем случае  она примет вид:

$$2aS=\upsilon^2$$

Тогда работа силы тяги

$$A_t=\mu mg \cdot S +maS =30 000 + 15 000 \cdot 1,4\cdot 10=240 000$$

Ответ: работа силы сопротивления $ A_{tr}=-30$ кДж, работа силы тяги $A_t=240$ кДж.