Сохранение энергии в LC-цепях. Задачи Сириуса-2.

Задача 1.

В цепи, изображённой на рисунке, при разомкнутом ключе $K$ заряд на конденсаторе с ёмкостью $C$ равен $Q=10$ мкКл, а конденсатор с ёмкостью $4C$ не заряжен. Омическими потерями в катушке с индуктивностью $L$ пренебречь.

Рисунок к задаче 1

Определите все возможные значения заряда на конденсаторе ёмкостью $C$, когда ток в цепи равен нулю. Ответ дайте в микрокулонах, округлив до десятых. Заряд конденсатора считайте неотрицательной величиной.

Решение. Переобозначим емкости конденсаторов как $C_1$ и $C_2$.  Тогда пусть в некоторый момент времени заряд на $C_2$ равен $q$. Следовательно, заряд на $C_1$ будет равен $Q-q$. Причем ток – производная заряда по времени:

$$\dot{q}=I$$

Обход контура по второму закону Кирхгофа дает уравнение:

$$\frac{q}{C_2}+\frac{Q-q}{C_1}+L\dot{I}=0$$

Делим на $L$ и заменяем $\dot{I}=\ddot{q}$:

$$\ddot{q}+\frac{q}{LC_2}+\frac{q}{LC_1}-\frac{Q}{LC_1}=0$$

$$\ddot{q}+\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2}\left(q-Q\frac{C_2}{C_1+C_2}\right)=0$$

Имеем классическое уравнение колебательного процесса, только относительно $\left(q-Q\frac{C_2}{C_1+C_2}\right)$.

Тогда его решение

$$q-Q\frac{C_2}{C_1+C_2}=b\cos(\omega t+\varphi_0)$$

Здесь $\omega=\frac{1}{L\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}}$. Если взять производную, получим ток:

$$I=b\omega(-\sin(\omega t+\varphi_0))$$

Так как при $t=0$ $I=0$, то заключаем, что $\varphi_0=0$. Так как $q(0)=0$, то $b=-\frac{QC_2}{C_1+C_2}$.  Тогда

$$q= Q\frac{C_2}{C_1+C_2}+b\cos(\omega t+\varphi_0)= Q\frac{C_2}{C_1+C_2}(1-\cos \omega t)$$

Это – заряд на конденсаторе $C_2=4C$. При равенстве нулю тока он либо минимален, либо максимален. Максимальным он будет при $\cos \omega t=-1$, тогда

$$q= 2Q\frac{C_2}{C_1+C_2}=2Q\frac{4C}{C+4C}=1,6Q=16$$

микрокулон. Это означает, что на первом конденсаторе заряд $-6$ мкКл, или по условию (положительная величина) 6 мкКл. Минимальным он будет при $\cos \omega t=-1$, тогда

$$q= 0$$

Значит, на конденсаторе $C_2$ в этот момент 10 мкКл.

Ответ: 6 мкКл или 10 мкКл.

Задача 2.

В условиях предыдущей задачи определите все возможные значения заряда на конденсаторе ёмкостью $4C$, когда ток в цепи равен нулю. Ответ дайте в микрокулонах, округлив до десятых. Заряд конденсатора считайте неотрицательной величиной.

Решение. См. решение задачи 1.

Ответ: 16 мкКл или 0 мкКл.

Задача 3.

Два одинаковых конденсатора и катушка индуктивности соединены последовательно. В цепи происходят свободные незатухающие колебания, такие, что заряды конденсаторов в любой момент одинаковы. Когда ток в цепи становится равен нулю, в один из конденсаторов очень быстро вставляют диэлектрическую пластину с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=2$, которая заполняет пространство конденсатора полностью.

Рисунок к задаче 3

Определите отношение максимальных скоростей изменения тока $\frac{\dot{I_2}}{\dot{I_1}}$ после вдвигания пластины ($\dot{I_2}$) и до ($\dot{I_1}$). Ответ округлите до сотых.

Решение. Нужно на самом деле найти отношение напряжений на конденсаторах, так как именно сумма напряжений на них и есть напряжение на катушке. А напряжение на катушке – это индуктивность, умноженная на скорость изменения тока (производную).

$$U_L=L\frac{di_L}{dt}$$

Так как заряды одинаковы, то первоначально напряжения на конденсаторах одинаковы. Затем емкость одного из конденсаторов меняют, увеличивают ее вдвое. Так как заряд тот же, то напряжение проседает вдвое. Таким образом, если сначала напряжение на обоих конденсаторах было равно $2U$, то после вставки пластины оно равно $1,5U$. Отношение будет равно 0,75.

Ответ: 0,75

Задача 4.

В условиях предыдущей задачи определите отношение максимальных токов в цепи $\frac{I_2}{I_1}$ после вдвигания пластины ($I_2$) и до ($I_1$). Ответ округлите до сотых.

Решение. Первоначально энергия такова:

$$W=2\cdot \frac{CU_1^2}{2}=\frac{LI_1^2}{2}$$

То есть $I_1=\sqrt{\frac{2C}{L}}U_1$. Затем

$$W=\frac{CU_1^2}{2}+0,5\frac{CU_1^2}{2}=0,75CU_1^2=\frac{LI_2^2}{2}$$

Откуда

$$I_2=\sqrt{\frac{2C}{L}}U_1\sqrt{0,75}$$

Отношение будет равно

$$\frac{I_2}{I_1}=\sqrt{0,75}=0,866$$

Ответ: 0,87