Сохранение энергии в LC-цепях. Задачи Сириуса.

Задача 1.

В колебательном контуре, состоящем из двух последовательно соединённых катушек с индуктивностями $L$ и $5L$ и конденсатора ёмкостью $C$ (см. рисунок), происходят свободные незатухающие колебания, при которых амплитуда напряжения на конденсаторе равна $U_0=8$ В. Когда сила тока в катушке $L$ максимальна, в неё быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) вставляют сердечник, что приводит к увеличению её индуктивности в $μ=20$ раз. Определите максимальное напряжение на конденсаторе после того, как вставляют сердечник. Ответ дайте в вольтах, округлив до десятых.

Рисунок к задаче 1

Решение. Когда сила тока в катушке $L$ максимальна, в ней сосредоточена вся энергия. Поэтому можно записать:

$$\frac{6LI^2}{2}=\frac{25LI_x^2}{2}$$

Откуда

$$I_x^2=\frac{6}{25}I^2$$

Но это означает, что

$$U_x^2=\frac{6}{25}U^2$$

И

$$U_x=U\sqrt{\frac{6}{25}}=\frac{U}{5}\sqrt{6}=1,6\sqrt{6}=3,92$$

Ответ: 3,9 В

Задача 2.

Две катушки самоиндукции с индуктивностями $L_1$ и $L_2$ подключены через ключи $K_1$ и $K_2$ к конденсатору ёмкостью $C$ (см. рис.). Индуктивность первой катушки в три раза больше индуктивности второй: $L_1=3L_2$.

Рисунок к задаче 2

В начальный момент времени оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности потенциалов $U_0=4,4$ В. Сначала замыкают ключ $K_1$, а когда напряжение на конденсаторе становится равным нулю, замыкают ключ $K_2$. Определите максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания ключа $K_2$. Ответ дайте в вольтах, округлив до десятых.

Решение. Пусть после замыкания ключа $K_1$ ток в первой катушке $I_m$. Пусть ток в первой катушке после замыкания второго ключа равен $I$. Тогда, вследствие того, что индуктивность второй катушки втрое меньше, ток в ней должен быть втрое больше - $3I$. Это происходит вследствие отсутствия источника ЭДС и равенства напряжений на параллельно включенных катушках, а то есть, потоков. Но энергия-то в контуре одна и та же, никуда не делась:

$$\frac{3LI_m^2}{2}= \frac{3LI^2}{2}+\frac{L\cdot (3I)^2}{2}$$

$$3LI_m^2=12LI^2$$

Или

$$I=\frac{I_m}{2}$$

Закон сохранения энергии для цепи с замкнутым первым ключом:

$$\frac{CU_0^2}{2}=\frac{3LI_m^2}{2}=\frac{12LI^2}{2}$$

После замыкания второго ключа ток в первой катушке убывает, во второй – нарастает. Поэтому, когда ток в первой катушке $I$, а во второй - $3I$, через конденсатор течет разность этих токов - $2I$. Вообще вся энергия была сосредоточена в первой катушке, и после замыкания ключа она распределяется между второй катушкой и конденсатором.

$$\frac{3L(2I)^2}{2}=\frac{L(3I)^2}{2}+\frac{CU^2}{2}$$

$$12LI^2-9LI^2=CU^2$$

$$3LI^2=CU^2=\frac{CU_0^2}{4}$$

$$U=\frac{U_0}{2}=2,2$$

Ответ: 2,2 В

Задача 3.

В условиях предыдущей задачи до замыкания ключа $К_2$ максимальная сила тока, текущего через первую катушку, равна $I_m=6,2$ мА. Определите максимальную и минимальную силу тока, протекающего через катушку $L_1$ после замыкания ключа $K_2$. Ответы дайте в миллиамперах, округлив до десятых.

Решение. Минимальная сила тока:

$$I=\frac{I_m}{2}=3,1$$

Максимальная сила тока протекает в катушке, когда ток во второй катушке равен нулю:

$$2I=I_m=6,2$$

Ответ: минимальный ток 3,1 мА, максимальный – 6,2 мА.