Шайба и горки

Две задачи похожие и в то же время разные про шайбу и  горки на тему закона сохранения импульса предлагаю я сегодня вашему вниманию. У нас, репетиторов «вижу задачу – теряю волю, бросаюсь решать» - это обычная «болезнь».

Задача 1.

На гладком горизонтальном столе лежат две гладкие одинаковые горки массой $M$, причем одна из них закреплена. С незакрепленной горки, с высоты $H$ скатывается маленькая шайба массой $m$. На какую максимальную высоту $h$ заедет шайба на закрепленную горку?

Рисунок 1

У шайбы, находящейся вначале на высоте $H$, есть потенциальная энергия. Съезжая, шайба толкнет горку. Таким образом, горка приобретет кинетическую энергию, а шайба поднимется на высоту $h$ на закрепленную горку – то есть у нее в конце есть потенциальная энергия, обусловленная этой высотой. Запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Пусть $\upsilon$ - скорость шайбы внизу горки, $u$ - скорость горки.

$$\begin{Bmatrix}{ m\upsilon =Mu}\\{ mgH=\frac{m \upsilon^2}{2}+\frac{Mu^2}{2}}\end{matrix}$$

Выражаем $u$ из первого уравнения:

$$u=\frac{ m\upsilon }{M}$$

И подставим во второе

$$mgH=\frac{m \upsilon^2}{2}+\frac{M}{2}\cdot\frac{m^2\upsilon^2}{M^2}$$

$$mgH=\frac{m \upsilon^2}{2}+\frac{m^2\upsilon^2}{2M}$$

$$2gH= \upsilon^2+\frac{m\upsilon^2}{M}$$

$$2gH= \upsilon^2\cdot\frac{m+M}{M}$$

По закону сохранения энергии для шайбы вверху и у подножия горки

$$mgh=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$\upsilon^2=2gh$$

Поэтому

$$\upsilon^2= \frac{2gHM}{M+m}$$

$$2gh= \frac{2gHM}{M+m}$$

Ответ: $h=\frac{HM}{M+m}$

Задача 2.

На гладком горизонтальном столе лежат две гладкие одинаковые горки массой $M$, причем одна из них закреплена. С закрепленной горки, с высоты $H$ скатывается маленькая шайба массой $m$. На какую максимальную высоту $h$ заедет шайба на незакрепленную горку?

Рисунок 2

У шайбы, находящейся вначале на высоте $H$, есть потенциальная энергия. Съехав, шайба толкнет незакрепленную горку, на которую заезжает. Таким образом, горка приобретет кинетическую энергию, а шайба поднимется на высоту $h$ – то есть у нее в конце есть и кинетическая (за счет движения вместе с горкой), и потенциальная энергия, обусловленная этой высотой. Запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Пусть $\upsilon$ - скорость шайбы внизу горки, $u$ - скорость горки.

$$\begin{Bmatrix}{ m\upsilon =(M+m)u}\\{ mgH=mgh+\frac{Mu^2}{2}+\frac{mu^2}{2}}\end{matrix}$$

Выражаем $u$ из первого уравнения:

$$u=\frac{ m\upsilon }{M+m}$$

И подставим во второе

$$mgH=mgh+\frac{M+m}{2}\cdot\frac{m^2\upsilon^2}{(M+m)^2}$$

$$mgH=mgh+\frac{m^2\upsilon^2}{2(M+m)}$$

$$h= H-\frac{m\upsilon^2}{2(M+m)g}$$

По закону сохранения энергии для шайбы вверху и у подножия горки

$$mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$\upsilon^2=2gH$$

Поэтому

$$h= H-\frac{mH}{M+m}$$

Ответ: $h= H-\frac{mH}{M+m}$.