Полет шайбы над гнездом... над телом М

На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массы $M$ (рис.) и на нем небольшая шайба массы $m$. Последней сообщили в горизонтальном направлении скорость $\upsilon$. На какую высоту (по сравнению с первоначальным уровнем) поднимется шайба после отрыва от тела $M$? Трения нет.

Рисунок к задаче

Решение. Запишем закон сохранения импульса:

$$m\upsilon=M\upsilon_1+m\upsilon_{2x}$$

Здесь $\upsilon_1$ - скорость горки, $\upsilon_{2x}$ - горизонтальная проекция скорости шайбы в момент отрыва шайбы от горки.

Причем

$$\upsilon_{2x}=\upsilon_1$$

Так как в этот момент горка с шайбой еще движутся вместе, отрыва нет. С учетом этого факта

$$m\upsilon=M\upsilon_1+m\upsilon_1$$

$$\upsilon_1=\frac{m\upsilon}{M+m}$$

Скорости в момент отрыва

Запишем закон сохранения энергии для этого же момента отрыва:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{M\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_2^2}{2}+mgh^{*}$$

Здесь $ h^{*}$ - высота подъема шайбы над стартовым уровнем, и до верхнего края тела $M$.

Преобразуем:

$$ m\upsilon^2= M\upsilon_1^2+ m\upsilon_2^2+2mgh^{*}$$

Разделим на $m$:

$$\upsilon_2^2=\upsilon^2-\frac{M}{m}\upsilon_1^2-2g h^{*}$$

Скорость $\upsilon_2$ разложим на вертикальную и горизонтальную проекции:

$$\upsilon_{2x}^2+\upsilon_{2y}^2=\upsilon^2-\frac{M}{m}\upsilon_1^2-2g h^{*}$$

Так как $\upsilon_{2x}=\upsilon_1$, заменим и перебросим $2g h^{*}$:

$$\upsilon_{2y}^2+2g h^{*}=\upsilon^2-\frac{M}{m}\upsilon_1^2-\upsilon_1^2$$

Вынесем за скобку $\upsilon_1^2$:

$$\upsilon_{2y}^2+2g h^{*}=\upsilon^2-\upsilon_1^2\left(\frac{M}{m}+1\right)$$

$$\upsilon_{2y}^2+2g h^{*}=\upsilon^2-\upsilon_1^2\frac{M+m}{m}$$

Вместо $\upsilon_1$ подставим

$$\upsilon_1=\frac{m\upsilon}{M+m}$$

$$\upsilon_{2y}^2+2g h^{*}=\upsilon^2-\upsilon^2\frac{m}{M+m}=\upsilon^2\frac{M}{M+m}$$

Запишем «формулу без времени», чтобы понять, на какую высоту $\Delta h$ шайба поднимется над телом $M$:

$$\upsilon_{2y}^2-0=2g\Delta h$$

Вместо $\upsilon_{2y}^2$ подставляем $2g\Delta h$:

$$2g\Delta h +2g h^{*}=\upsilon^2\frac{M}{M+m}$$

И, наконец, делим на $2g$:

$$\Delta h + h^{*}=\frac{\upsilon^2}{2g}\cdot \frac{M}{M+m}$$

Ответ: $\Delta h + h^{*}=\frac{\upsilon^2}{2g}\cdot \frac{M}{M+m}$.

 Надо отметить, что, несмотря на отделение шайбы от горки, она все время полета будет оставаться над горкой, именно над тем местом, от которого оторвалась, и потом соприкоснется с горкой и скатится вниз по ней... Симметрично взлету.