Подготовка в СУНЦ МГУ: законы сохранения - 4

Задач на сохранение энергии и импульса в экзаменах прошлых лет встречается больше всего. В том числе довольно сложные. Именно этим объясняется, что больше всего статей я подготовила для вас на эту тему.

Задача 1.

Горизонтально летящая пуля массой $m=10$ г попадает в центр лежащего на краю стола шара массой $M=440$ г и застревает в нем.  Найдите, на каком расстоянии по горизонтали от края стола шар упадет на пол, если пуля летела со скоростью $\upsilon=90$ м/с, и высота стола равна $H=1,8$ м. (В.7, 2015 г., №4)

По закону сохранения импульса

$$m\upsilon_1=(m+M) \upsilon$$

Скорость шара:

$$ \upsilon=\frac{ m\upsilon_1}{m+M}$$

С такой скоростью шар улетит на расстояние $S=\upsilon t$, только время надо узнать. Так как падал шар с высоты 1,8 м, то

$$H=\frac{gt^2}{2}$$

$$t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$$

Тогда

$$S=\upsilon t=\upsilon \sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2H}{g}}\frac{ m\upsilon_1}{m+M}=\sqrt{\frac{2\cdot1,8}{10}}\frac{ 0,01\cdot90}{0,45}=1,2$$

Ответ: $S=1,2$ м.

Задача 2.

Наибольшая высота подъема брошенного вертикально вверх тела равна $H$. На какой высоте  потенциальная энергия тела будет вдвое больше его кинетической энергии? (В.10, 2015 г., №3)

Запишем условие равенства энергий:

$$mgh=2\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$gh=\upsilon^2$$

Так как максимальная высота подъема $H$, то

$$\upsilon_0^2-\upsilon_k^2=2gH$$

$$\upsilon_k=0$$

$$\upsilon_0^2=2gH$$

Теперь запишем для искомой высоты:

$$2gh=\upsilon_0^2-\upsilon^2$$

$$2gh=2gH-gh$$

$$H=\frac{3h}{2}$$

$$h=\frac{2H}{3}$$

Другое, красивое и лаконичное решение Евгении Калинниковой:

Полная энергия тела равна $mgH$, в точке, про которую мы говорим, энергия тела равна сумме кинетической и потенциальной:

$$mgH=mgh+\frac{m \upsilon^2}{2}$$

По условию потенциальная энергия тела вдвое больше кинетической:

$$mgh=2\frac{m \upsilon^2}{2}$$

Тогда

$$mgH=mgh+\frac{mgh}{2}$$

Откуда $H=\frac{3h}{2}$.

Ответ: $h=\frac{2H}{3}$

Задача 3.

  Два фигуриста массами $m_1=60$ и $m_2=30$ кг, стоящие на льду, отталкиваются друг от  друга и скользят в противоположные стороны. Расстояние между ними после остановки равно $L=100$ м. Определите смещения каждого из фигуристов от исходной позиции, если коэффициенты трения их коньков по льду одинаковые. (В.1, 2016 г., №4)

При толчке каждый приобретет кинетическую энергию, которая перейдет в работу силы трения:

$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}=F_{tr1} S_1$$

$$\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=F_{tr2} S_2$$

Сила трения

$$F_{tr1}=\mu m_1 g $$

$$F_{tr2}=\mu m_2 g $$

То есть

$$S_1=\frac{\upsilon_1^2}{2 \mu g}$$

$$S_2=\frac{\upsilon_2^2}{2 \mu g}$$

Деление уравнений друг на друга дает

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}$$

Из закона сохранения импульса

$$\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}=\frac{m_2^2}{m_1^2}$$

Следовательно,

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{900}{3600}=0,25$$

Поэтому $S_1=20$ м, $S_2=80$ м.

Задача 4.

Брошенное вертикально вверх тело массой $m=2$ кг упало обратно спустя время $T=10$ с. Определите его кинетическую энергию в момент броска и потенциальную энергию, отсчитываемую от места броска, через время $\tau=4$ с после броска. Сопротивление воздуха не учитывать. (В.3, 2016 г., №4)

Время подъема тела равно 5 с: это половина общего времени движения. То есть падало тело тоже 5 с, следовательно, упало с высоты 125 м:

$$S=\frac{gt^2}{2}=\frac{10\cdot5^5}{2}=125$$

На такой высоте у тела была потенциальная энергия, равная:

$$E_p=mgh=2\cdot10\cdot125=2500$$

Если считать, что в потенциальную перешла вся кинетическая энергия тела, то скорость тела можно найти:

$$E_k=E_p$$

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=2500$$

$$\upsilon_0=\sqrt{\frac{2E_p}{m}}=\sqrt{\frac{5000}{2}}=50$$

Определим потенциальную энергию тела через время $\tau=4$ с после броска. Тело в это время (используем обратимость движения) было в пяти метрах от максимальной высоты подъема, то есть на высоте 120 м, и обладало потенциальной энергией

$$E_{p1}=mgh_1=2\cdot10\cdot120=2400$$

Следовательно, кинетическая его энергия в этот момент равна $E_{k1}=E_p-E_{p1}=2500-2400=100$ Дж.

Ответ: $E_p=E_k=2500$  Дж, $E_{p1}=2400$ Дж, $E_{k1}=100$ Дж.