Подготовка в СУНЦ МГУ: законы сохранения - 3

Задач на сохранение энергии и импульса в экзаменах прошлых лет встречается больше всего. В том числе довольно сложные. Именно этим объясняется, что больше всего статей я подготовила для вас на эту тему.

Задача 1.

Пуля массой $m=10$ г вылетела из дула ружья с начальной скоростью $\upsilon=600$ м/с.  Найдите, под каким углом к горизонту вылетела пуля, если ее кинетическая энергия в высшей точке траектории равна $W=450$ Дж. (В.7, 2013 г., №4)

В высшей точке траектории у пули остается только горизонтальная составляющая скорости $\upsilon_0\cos{\alpha}$. Запишем кинетическую энергию пули:

$$W=\frac{m\upsilon_0^2\cos^2{\alpha}}{2}$$

$$\cos^2{\alpha}=\frac{ 2W }{ m\upsilon_0^2}$$

$$\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{ 2W }{ m\upsilon_0^2}}=\sqrt{\frac{ 2\cdot450}{0,01\cdot600^2}}=\frac{1}{2}$$

Угол выстрела - $60^{\circ}$.

Задача 2.

В шар массой $M=440$ г, висящий на легком стержне длиной $L=40$ см, попадает и застревает в нем горизонтально летящая пуля массой $m=10$ г. При какой минимальной скорости пули шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости? (В.1, 2015 г., №4)

Если сообщить шару такую кинетическую энергию, что она была бы равна его потенциальной в верхней точке, то он сможет совершить полный оборот. Достаточная энергия - $2(M+m)gL$, так как поднимется шар именно на высоту $2L$. Тогда:

$$2(M+m)gL=\frac{ (M+m)\upsilon^2}{2}$$

То есть у шара должна быть скорость после удара, равная:

$$\upsilon=2\sqrt{gL}$$

По закону сохранения импульса

$$m\upsilon_1=(m+M) \upsilon$$

Скорость пули должна быть равна:

$$\upsilon_1=\frac{(m+M) \upsilon }{m}=\frac{(m+M) 2\sqrt{gL}}{m}=\frac{0,45\cdot 2\sqrt{4}}{0,01}=180$$

Ответ: $\upsilon_1=180$ м/с.

Задача 3.

Горизонтально летящая пуля массы $m$ попадает в лежащий на столе шар массой $M$ и пробивает его по диаметру. После вылета из шара скорость пули стала в два раза меньше первоначальной.  Какая часть первоначальной энергии пули превратилась при этом во внутреннюю энергию шара и пули? (В.2, 2015 г., №4)

По закону сохранения импульса

$$m\upsilon_1=m \upsilon_2+M\upsilon$$

Скорость шара

$$ M\upsilon= m(\upsilon_1- \upsilon_2)$$

$$\upsilon_2=\frac{\upsilon_1}{2}$$

Следовательно,

$$ \upsilon= \frac{m(\upsilon_1- \frac{\upsilon_1}{2})}{M}$$

$$ \upsilon= \frac{m\upsilon_1}{2M}$$

Таким  образом, кинетическая энергия шара после удара:

$$E_K=\frac{M\upsilon^2}{2}=\frac{m^2\upsilon_1^2}{8M}$$

Кинетическая энергия пули до удара:

$$ E_{k1}=\frac{ m\upsilon_1^2}{2}$$

Кинетическая энергия пули после удара:

$$ E_{k2}=\frac{ m\upsilon_1^2}{8}$$

Тогда

$$Q= E_{k1}- E_{k2}- E_K=\frac{ m\upsilon_1^2}{2}-\frac{ m\upsilon_1^2}{8}-\frac{m^2\upsilon_1^2}{8M}=\frac{3m\upsilon_1^2}{8}-\frac{m^2\upsilon_1^2}{8M}$$

$$Q=\frac{m\upsilon_1^2}{8}\left(3-\frac{m}{M}\right)$$

Определим, какую часть от $E_{k1}$ это составит:

$$\frac{Q}{E_{k1}}=\frac{\frac{m\upsilon_1^2}{8}\left(3-\frac{m}{M}\right)}{ \frac{ m\upsilon_1^2}{2}}=\frac{1}{4}\left(3-\frac{m}{M}\right)$$

Ответ: $\frac{Q}{E_{k1}}=\frac{1}{4}\left(3-\frac{m}{M}\right)$.

Задача 4.

В шар массой $M=250$ г, висящий на нити длиной $l=50$ см, попадает и застревает в нем горизонтально летящая пуля массой $m=10$ г. После удара нить с шаром отклоняется от вертикали на угол $\alpha=60^{\circ}$. Найдите, с какой скоростью летела пуля. (В.4, 2015 г., №4)

По закону сохранения импульса

$$m\upsilon_1=(m+M) \upsilon$$

Скорость шара:

$$ \upsilon=\frac{ m\upsilon_1}{m+M}$$

Скорость пули:

$$ \upsilon_1=\frac{(m+M)\upsilon}{m}$$

Кинетическая энергия шара после удара пули:

$$E_M=\frac{(M+m)\upsilon^2}{2}$$

Эта энергия перейдет в потенциальную:

$$E_M=(M+m)gh$$

$$h=l-l\cos{\alpha}$$

Тогда:

$$\frac{(M+m)\upsilon^2}{2}=(M+m)g(l-l\cos{\alpha})$$

Тогда

$$\upsilon^2=2g(l-l\cos{\alpha})$$

$$\upsilon=\sqrt{2g(l-l\cos{\alpha})}$$

И скорость пули равна

$$ \upsilon_1=\frac{m+M}{m}\sqrt{2g(l-l\cos{\alpha})}$$

$$ \upsilon_1=\frac{0,01+0,25}{0,01}\sqrt{20(0,5-0,5\cdot\frac{1}{2})}=58,1$$

Ответ: 58 м/c.