Подготовка в СУНЦ МГУ - динамика-2. Экзамен в 11 класс.

Наиболее трудными зачастую для абитуриентов оказываются задачи на динамику. Часто такие задачи требуют применения законов сохранения, а также знания кинематики, особенно большие трудности вызывает тема "относительность движения" и необходимость переходить в ту или иную систему отсчета.

Задача 1.

Маленький шарик находится на гладком горизонтальном столе и равномерно вращается по окружности радиуса $l$.  Шарик соединен с неподвижным центром этой окружности невесомой резинкой, удлинение которой подчиняется закону Гука. Найдите длину $l_0$ нерастянутой резинки, если отношение потенциальной (упругой) энергии системы к ее кинетической энергии равно $n=0,2$.

Запишем данное отношение:

$$\frac{W}{E}=0,2$$

$$\frac{\frac{kx^2}{2}}{\frac{m\upsilon^2}{2}}=0,2$$

$$\frac{kx^2}{m\upsilon^2}=0,2~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Сила, с которй шарик воздействует на пружинку,

$$F=kx=ma_n=\frac{m\upsilon^2}{l}$$

$$ m\upsilon^2=kxl$$

Подставим в (1):

$$\frac{kx^2}{kxl}=0,2$$

Откуда

$$\frac{x}{l}=0,2$$

Или

$$l_0=0,8l$$

Ответ: $l_0=0,8l$.

Задача 2.

Внутренняя и наружная обоймы радиусов $r$ и $R$ соответственно  шарикоподшипника вращаются с угловыми скоростями $\omega$ и $\Omega$. Найдите величину $\upsilon$ скорости центра одного из шариков.  Проскальзывания между шариками и обоймами нет.

Запишем линейную скорость  точки $A$ шарика:

$$\upsilon_1=\omega r$$

Линейная скорость точки $B$:

$$\upsilon_2=\Omega R$$

Тогда скорость $\upsilon$ равна

$$\upsilon=\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}=\frac{\omega r +\Omega R }{2}$$

Ответ: $\upsilon=\frac{\omega r +\Omega R }{2}$

Задача 3.

На пружине жесткостью $k=100$  Н/м, прикрепленной к потолку, подвешено тело массой $m=2$ кг. На него начинает действовать направленная вертикально вниз сила $F=30$ Н. Найдите работу $A$ этой силы к тому моменту, когда груз опустится на высоту $h=10$ см.

Работа этой силы будет равна произведению силы на перемещение:

$$A=FS=30\cdot0,1=3$$

Ответ: 3 Дж.

Задача 4.

Найдите величину силы натяжения $T$ нити, соединяющей две тележки массами $m_1$ и $m_2$, движущиеся по горизонтальной плоскости, если передний конец нити наматывается на установленную на одну из тележек невесомую катушку радиусом $r$, вращающуюся с угловой скоростью $\omega=const$. Переднюю тележку тянут с горизонтальной силой $F$. Система идеальна.

Введем силу натяжения нити $T$. Тогда

$$T=m_2a_2$$

Линейная скорость точек нити равна

$$\upsilon=\omega r$$

Тогда для первой тележки запишем:

$$m_1a_1=F-T=F-m_2a_2$$

$$F=m_1a_1+m_2a_2$$

Если $a_1=a_2$, то

$$F=(m_1+m_2)a$$

$$a=\frac{F}{ m_1+m_2}$$

Откуда

$$T=\frac{Fm_2}{ m_1+m_2}$$

Ответ: $T=\frac{Fm_2}{ m_1+m_2}$.

Задача 5.

  На гладкой горизонтальной поверхности находится подвижная колоколообразная горка массой $M$ и высотой $H$. В начальный момент горка покоится. Небольшому кубику массой $m$ сообщается горизонтальная начальная скорость $\upsilon$, такая, что кубик въезжает на горку и останавливается на ее вершине. Какую скорость $u$ приобретет при этом горка, если коэффициент трения кубик-горка равен $\mu$? Какую работу $A_{tr}$ совершит сила трения?

У кубика первоначально имеется кинетическая энергия, равная

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

По закону сохранения импульса

$$ m\upsilon=(m+M)\upsilon’$$

$$\upsilon’=\frac{ m\upsilon }{ m+M }$$

Кинетическая энергия кубика  переходит в потенциальную, кинетическую энергию системы кубик-горка и работу силы трения:

$$E_k=E_p+E_k’+\mid A_{tr} \mid$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{(m+M)\upsilon’^2}{2}-mgH=\mid A_{tr} \mid$$

Подставим найденную скорость системы кубик-тележка:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{(m+M)m^2\upsilon^2}{2(m+M)^2}-mgH=\mid A_{tr} \mid$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}\left(1-\frac{m}{m+M}\right)-mgH= \mid A_{tr} \mid$$

$$\frac{mM\upsilon^2}{2(m+M)}-mgH=\mid A_{tr} \mid$$

$$ A_{tr}= mgH-\frac{mM\upsilon^2}{2(m+M)}$$

Знак я поменяла, так как сила трения направлена в сторону, противоположную перемещению.

Задача 6.

На патефонной пластинке, вращающейся в горизонтальной плоскости с частотой $n=78$ об/мин, сидит божья коровка на расстоянии $r=15$ см от центра. Найдите величину импульса $P$ силы трения, действовавшей на божью коровку  в течение половины оборота пластинки, если масса божьей коровки $m=0,20$ г.

Переведем частоту в Гц:

$$\nu=\frac{78}{60}=1,3$$

Импульс силы трения равен

$$\Delta\vec{ P}=\vec{F}_{tr}\Delta t$$

$$\Delta\vec{ P}=\vec{p}_2-\vec{p}_1=m\vec{\upsilon}_2-m\vec{\upsilon}_1$$

Так как в конце полуоборота скорость направлена противоположно тому, как она была направлена вначале, то при вычитании двух противонаправленных векторов получим:

$$\Delta P=2m\upsilon_1$$

Скорость равна

$$\upsilon_1=\frac{2\pi r}{T}=2 \pi \nu r$$

 

Тогда импульс силы будет равен

$$\Delta P= 4m  \pi \nu r=4\cdot0,2\cdot10^{-3}\cdot3,14\cdot1,3\cdot 0,15=0,5\cdot10^{-3}$$

Ответ: $P=0,5\cdot10^{-3}$ Н$\cdot$с.