Подготовка в СУНЦ МГУ - динамика-1. Экзамен в 11 класс.

Наиболее трудными зачастую для абитуриентов оказываются задачи на динамику. Часто такие задачи требуют применения законов сохранения, а также знания кинематики, особенно большие трудности вызывает тема "относительность движения" и необходимость переходить в ту или иную систему отсчета.

Задача 1.  Брусок массой $m=1$ кг лежит на горизонтальной плоскости.  К нему прикладывают силу $F=6$ Н, направленную под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту. Найдите величину возникающей силы трения $F_{tr}$, если коэффициент трения между бруском и плоскостью $\mu=0,8$. В расчетах принять $g=10$ м/с$^2$.

Введем систему координат: ось $x$ направим горизонтально вправо, ось $y$ - вверх. Разложив силу $F$ по осям на проекции, получим систему уравнений:

$$N=mg-F\sin{\alpha}$$

$$F_{tr}-F\cos{\alpha}=0$$

$$F_{tr}=\mu N$$

Очевидно, что из второго уравнения определить силу трения проще всего:

$$ F_{tr}=F\cos{\alpha}=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}=5,1$$

Ответ: $ F_{tr}=5,1$ Н.

Задача 2.

От пружины жесткостью $k$ и длиной $l$ отрезали кусок длиной $l’$. Найдите жесткость $k’$ этого куска.

Чем меньше кусок пружины, тем труднее его растянуть так же, как целую. Понятно, что жесткость куска больше, чем жесткость целой пружины. По закону Гука

$$F=k(l-\Delta l)$$

$$F=k’(l’-\Delta l’)$$

Пусть силы одинаковы для обеих пружин. Тогда

$$ k(l-\Delta l)= k’(l’-\Delta l’)$$

Предположим, растяжение обеих пружин пренебрежимо мало, тогда

$$ kl= k’l’$$

Откуда

$$k’=\frac{kl}{l’}$$

Ответ: $k’=\frac{kl}{l’}$

Задача 3.  Пластилиновый шарик массой $m$, летящий горизонтально со скоростью $\upsilon$, сталкивается с бруском такой же массы, находящимся на гладкой горизонтальной поверхности, и прилипает к нему. В первом случае брусок до удара был неподвижен, во втором – двигался поступательно навстречу шарику с такой же по величине скоростью. Сравните теплоты $Q_1$ и $Q_2$, выделившиеся при ударе в первом и втором случаях. Линия вектора $\upsilon$ проходит через центр масс бруска.

В первом случае мы можем записать закон сохранения импульса:

$$m\upsilon=2m\cdot \upsilon’$$

$$\upsilon’=\frac{\upsilon}{2}$$

По закону сохранения энергии

$$E_{k1}=E_{k2}+Q_1$$

$$Q_1= E_{k1}-E_{k2}=\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{2m\upsilon’^2}{2}=\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{m\upsilon^2}{4}=\frac{m\upsilon^2}{4}$$

Во втором случае, когда брусок изначально двигался, имеем по закону сохранения импульса:

$$ m\upsilon- m\upsilon=2m \upsilon’’$$

$$\upsilon’’=0$$

По закону сохранения энергии

$$E_{k3}+E_{k4}=Q_2$$

$$Q_2= \frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{m\upsilon^2}{2}=m\upsilon^2$$

Отношение двух полученных количеств теплоты равно

$$\frac{Q_2}{Q_1}=4$$

Ответ: 4.

Задача 4.

Найти ускорения $a_1$ и $a_2$ грузов в системе, изображенной на рисунке, если нить тянут с силой $F$.  Трения нет, нить невесома и нерастяжима.

Сила натяжения нити всюду одинакова, поэтому

$$m_1a_1=T$$

$$a_1=\frac{T}{m_1}$$

Груз $m_2$  висит на подвижном блоке, поэтому для него уравнение будет таким:

$$m_2a_2=2T-m_2g$$

$$a_2=\frac{2T-2m_2g}{m_2}$$

Сила натяжения нити $T=F$, поэтому окончательно

$$a_1=\frac{F}{m_1}$$

$$a_2=\frac{2F-2m_2g}{m_2}$$

Ответ: $a_1=\frac{F}{m_1}$, $a_2=\frac{2F-2m_2g}{m_2}$.

Задача 5.

С какой силой $F$, направленной горизонтально, нужно давить на клин массой $M$, чтобы груз $m$ не перемещался относительно него. Трения нигде нет. Угол $\alpha$ известен.

Нарисуем все силы, действующие на клин и брусок:

Для бруска запишем:

$$ma=mg\sin{\alpha}$$

Откуда

$$a= g\sin{\alpha}$$

Для клина:

$$F=(M+m)a’$$

$$a’=\frac{a}{\cos{\alpha}}=g\operatorname{tg}{\alpha}$$

Тогда

$$F=(M+m) g\operatorname{tg}{\alpha}$$

Ответ: $F=(M+m) g\operatorname{tg}{\alpha}$.

Задача 6.

В вертикальную стену наполовину забиты два гвоздя, один строго под другим. К верхнему привязывают математический маятник массой $m$ и длиной $l$, который отклоняют в горизонтальное положение и отпускают без начальной скорости так, чтобы, двигаясь, он не касался стены.  Пренебрегая трением, найдите силы $F_1$ и $F_2$, с которыми нить действует соответственно на верхний и нижний гвозди сразу после ее касания нижнего гвоздя, если расстояние между гвоздями равно $\frac{l}{2}$.

При отклонении груза ему сообщили потенциальную энергию $mgl$, которая перейдет в кинетическую в нижней точке:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgl$$

Откуда

$$\upsilon^2=2gl$$

В этой точке на груз действует нормальное ускорение, сила натяжения нити (для верхнего гвоздя) и сила тяжести:

$$a_nm= T_v-mg$$

$$T_v=a_nm+mg=\frac{\upsilon^2}{l}m+mg=2mg+mg=3mg$$

Теперь рассмотрим нижний гвоздь. Сразу после касания нити изменится угловое ускорение груза (вследствие изменения длины нити)

$$\omega=\frac{\upsilon}{R}=\frac{\upsilon}{\frac{l}{2}}=\frac{2\upsilon}{l} $$

Нормальное ускорение груза тогда составит:

$$a_n’=\omega^2R=\omega^2\frac{l}{2}=\frac{4\upsilon^2}{l^2}\cdot\frac{l}{2}=\frac{2\upsilon^2}{l}=4g$$

Для момента времени сразу после касания, когда еще можно считать все силы направленными вертикально, запишем:

$$a_n’m= T_n-mg$$

$$T_n=a_n’m+mg=4mg+mg=5mg$$

Ответ: для верхнего гвоздя $T_v=3mg$, для нижнего $T_n=5mg$.