Натяжение нитей и сохранение энергии

Задача 1. С какой начальной скоростью $\upsilon_0$ надо бросить вниз мяч с высоты 2 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 4 м? Считать удар о землю абсолютно упругим.

У мяча, брошенного с высоты, имеется как потенциальная, так и кинетическая энергия. Если удар абсолютно упругий, то во время удара потерь энергии нет, поэтому вся эта энергия перейдет в потенциальную, когда мяч подскочит на высоту 4 м:

$$E_{k1}+E_{p1}=E_{p2}$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}+mgh_1=mgh_2$$

$$\upsilon^2=2g(h_2-h_1)$$

$$\upsilon=\sqrt{2g(h_2-h_1)}= \sqrt{20(4-2)}=6,32$$
Ответ: $\upsilon=6,32$ м/с

Задача 2.

 Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом $30^{\circ}$ к горизонту. Определите его скорость на высоте 1 м.

Сначала тело обладало только кинетической энергией, а потом часть этой энергии перешла в потенциальную. Определим скорость тела:

$$E_{k1} = E_{k2}+E_{p2}$$

$$\frac{m\upsilon_1^2}{2}=\frac{m\upsilon_2^2}{2}+mgh$$

$$\upsilon_1^2=\upsilon_2^2+2gh$$

$$\upsilon_2=\sqrt{\upsilon_1^2-2gh}=\sqrt{400-20}=19,5$$

Ответ: $\upsilon_2=19,5$ м/с

Задача 3.

Начальная скорость пули 600 м/с, ее масса 10 г. Под каким углом к горизонту она вылетела из дула ружья, если ее кинетическая энергия в высшей точке траектории равна 450 Дж?

В высшей точке траектории у пули останется только горизонтальная составляющая скорости – проекция скорости на ось $x$. Вертикальная составляющая будет убывать и в высшей точке траектории  станет равна нулю. Проекцию скорости на ось $x$ запишем как

$$\upsilon_x=\upsilon \cos{\alpha}$$

Где $\alpha$ - искомый угол.

Тогда:

$$E_k=\frac{m\upsilon^2\cos^2{\alpha}}{2}$$

$$\cos^2{\alpha}=\frac{2E_k}{m\upsilon^2}$$

$$\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{2E_k}{m\upsilon^2}}=\sqrt{\frac{900}{0,01\cdot600^2}}=\frac{1}{2}$$

$$\alpha=60^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=60^{\circ}$

Задача 4.

Шар радиусом $R$ покоится на поверхности земли. С верхней точки шара скользит из состояния покоя тело, размеры которого много меньше размеров шара. На какой высоте над поверхностью земли тело отделится от шара?

К задаче 4

Тело отделится от шара, когда сила реакции опоры будет равна нулю. Запишем для скользящего тела уравнение по второму закону Ньютона:

$$m a_n = -N+mg \cos{\alpha}$$

Если $N=0$, то

$$a_n= g \cos{\alpha}$$

$$\frac{\upsilon^2}{R}= g \cos{\alpha}$$

Откуда

$$\cos{\alpha}=\frac{\upsilon^2}{gR}$$

Высота тела в момент, зафиксированный на рисунке, равна $h=R+k$, где $k=R\cos{\alpha}=\frac{\upsilon^2}{g}$. Запишем теперь закон сохранения энергии для тела:

$$E_{p1}=E_{p2}+E_{k2}$$

$$2mgR=mg(R+k)+ \frac{m\upsilon^2}{2}$$

Откуда

$$gR=gk+ \frac{\upsilon^2}{2}$$

$$\upsilon^2=2gR-2gk=2gR-2g\frac{\upsilon^2}{g}=2gR-2\upsilon^2$$

$$3\upsilon^2=2gR$$

$$\upsilon^2=\frac{2gR }{3}$$

Тогда высота тела в момент  отрыва

$$h=R+ R\cos{\alpha}=R+\frac{\upsilon^2}{g}=R+\frac{2gR }{3g}=\frac{5R}{3}$$

Ответ: $h=\frac{5R}{3}$

Задача 5.

Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных качаниях груза шнур не оборвался? Максимальная сила натяжения, которую выдерживает шнур без обрыва, равна 550 Н.

К задаче 5

Для нижней точки траектории запишем для тела второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

$$T=(a_n+g)m$$

$$T=(\frac{\upsilon^2}{R}+g)m$$

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии, ведь вся потенциальная энергия груза перейдет в кинетическую:

$$mgh=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Откуда

$$\upsilon^2=2gh$$

Тогда

$$\frac{2mgh}{R}=T-mg$$

И

$$h=\frac{ (T-mg)R }{2mg}=\frac{ (550-250)2,5 }{2\cdot250}=1,5$$

Ответ: $h=1,5$ м