Механическая работа: поднимаем ведра и бросаемся льдинками

Задачи на работу неразрывно связаны с задачами на закон сохранения энергии. Потому что энергия тратится на работу и наоборот, тело приобретает энергию в результате выполнения кем-то или чем-то работы.

Задача 1.

Ведро с водой массой 10 кг поднимают на высоту 10 м, прикладывая постоянную силу 200 Н. Какую работу при этом совершают? Чему равно изменение потенциальной энергии? Чему равна кинетическая энергия груза в конце подъема?

Запишем уравнение по второму закону Ньютона:

$$ma=F-mg$$

Окуда

$$a=\frac{F}{m}-g=\frac{200}{10}-10=10$$

Тогда квадрат скорости ведра найдем, зная высоту подъема:

$$\upsilon^2=2aS=2\cdot10\cdot10=200$$

Кинетическая энергия ведра равна тогда

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{10\cdot200}{2}=1000$$

А потенциальная

$$E_p=mgh=10\cdot10\cdot10=1000$$

Следовательно, работа по подъему равна

$$A=E_p+E_k=2000$$

Ответ: $E_k=1000$ Дж, $E_p=1000$ Дж, $A=2000$ Дж.

Задача 2.

Кусок льда сначала бросают под углом $45^{\circ}$ к горизонту, а второй раз пускают с такой же скоростью скользить по льду. Найти коэффициент трения, если во втором случае кусок льда переместился на расстояние, в 10 раз большее, чем в первом случае.

Сначала определим горизонтальное расстояние при броске под углом к горизонту. Горизонтальная проекция скорости $\upsilon_x=\upsilon_0\cos{\alpha}$, вертикальная $\upsilon_y=\upsilon_0\sin{\alpha}$. За время $t$ полета до наивысшей точки траектории эта составляющая погасится силой тяжести:

$$0=\upsilon_0\sin{\alpha}-gt$$

$$t=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}$$

Тогда расстояние, на которое по горизонтали улетит льдинка, равно

$$S=\upsilon_x \cdot 2t=\upsilon_0\cos{\alpha}\cdot \frac{2\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_0^2\sin{2\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_0^2}{g}$$

По условию, пущенная по льду льдинка прошла в 10 раз большее расстояние: $\frac{10\upsilon_0^2}{g}$.

Сила трения равна

$$F_{tr}=\mu m g$$

Работа этой силы равна изначальной кинетической энергии льдинки:

$$E_k=\frac{m\upsilon_0^2}{2}=F_{tr}S$$

$$ F_{tr}=\frac{m\upsilon_0^2}{2S}$$

$$\mu m g=\frac{m\upsilon_0^2 g}{2\cdot 10\upsilon_0^2}=\frac{mg}{20}$$

$$\mu=\frac{1}{20}=0,05$$

Ответ: $\mu=0,05$.

Задача 3.

Тело брошено в горизонтальном направлении с начальной скоростью 15 м/с. Через сколько секунд кинетическая энергия тела увеличится вдвое? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Увеличение кинетической энергии вдвое означает, что скорость возросла в $\sqrt{2}$ раз. Эта скорость – результат сложения  горизонтальной составляющей  скорости и вертикальной. То есть вертикальная составляющая тоже равна 15 м/с. Такая вертикальная составляющая вырастет за время:

$$gt=\upsilon_y$$

$$t=\frac{\upsilon_y }{g}=\frac{15}{10}=1,5$$

Ответ: 1,5 с.

Задача 4.

Определить кинетическую энергию тела, брошенного горизонтально с высоты 100 м, в момент приземления, если масса тела 0,5 кг и начальная скорость 10 м/с?

Начальная горизонтальная составляющая скорость тела сохраняется. По вертикали тело наберет скорость

$$\upsilon_y=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot100}=\sqrt{2000}=44,7$$

Скорость тела при падении равна

$$\upsilon^2=\upsilon_y^2+\upsilon_x^2=2000+100=2100$$

Кинетическая энергия тела равна

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=525$$

Ответ: $E_k=525$ Дж.

Задача 5.

Горизонтально направленный пучок атомов серебра вылетает из источника. Кинетическая энергия атома равна $9,8\cdot10^{-11}$ Дж. Определить изменение высоты атомов пучка под действием силы тяжести на расстоянии 5 м от источника. Атомная масса серебра 108.

Найдем массу атома:

$$m_0=\frac{M}{N_A}=\frac{108}{6\cdot10^{23}}=18\cdot10^{-23}$$

Определим скорость атомов пучка:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2E_k}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot9,8\cdot10^{-11}}{18\cdot10^{-23}}}=1,04\cdot10^6$$

Определим время, за которое атому пролетят 5 м:

$$t=\frac{S}{\upsilon }=\frac{5}{1,04\cdot10^6}=4,8\cdot10^{-6}$$

За это время атомы пройдут по вертикали расстояние

$$H=\frac{gt^2}{2}=\frac{10\cdot4,8^2\cdot10^{-12}}{2}=1,16\cdot10^{-10}$$

Ответ: $H=1,16\cdot10^{-10}$ м.