Катушки и конденсаторы в одной цепи

Задача 1.

В колебательном контуре индуктивность катушки $L = 2,5$ мГн, а емкость конденсаторов $C_1 = 2,0$ мкФ  и $C_2 = 3,0$ мкФ.

Рисунок к задаче 1

Конденсаторы зарядили до напряжения $U = 180$ В и замкнули ключ $K$. Определите период собственных колебаний и амплитудное значение тока $I_0$ через катушку. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.

Решение. Общая емкость (эквивалентная) конденсаторов равна $C=5$ мкФ. Поэтому найти период колебаний в такой цепи, где последовательно соединены катушка и конденсатор, легко:

$$T=2\pi \sqrt{LC}=2\pi\sqrt{2,5\cdot 10^{-3}\cdot 5\cdot 10^{-6}}=70,25\cdot 10^{-4}$$

Приравняв энергию поля, запасенную катушкой, и энергию поля конденсатора, можем найти амплитуду тока:

$$\frac{LI_m^2}{2}=\frac{CU^2}{2}$$

$$ LI_m^2= CU^2$$

$$I_m=U\sqrt{\frac{C}{L}}=180\sqrt{\frac{5\cdot 10^{-6}}{2,5\cdot 10^{-3}}}=8,05$$

Ответ: $I_m=8,05$ А, $T=7$ мс.

Задача 2.

Колебательный контур, в состав которого входят конденсатор емкости $C$ и катушка индуктивности $L$ и активное сопротивление $R$, через ключ $K$ подключен к батарее с ЭДС $E$.

Рис

Спустя некоторое время после замыкания ключа $K$ установился стационарный режим (токи во всех элементах цепи стали постоянными). Какое количество теплоты $Q$ выделится в катушке после того, как ключ $K$ будет разомкнут? Внутреннее сопротивление батареи и сопротивление подводящих проводов пренебрежимо малы.

Рисунок к задаче 2

Решение. Когда режим установится, конденсатор будет заряжен до напряжения $\varepsilon$, потому что он подключен непосредственно к источнику. Значит, в нем запасена энергия

$$W_C=\frac{C\varepsilon^2}{2}$$

Ток же течет через ветку с катушкой, и равен

$$I=\frac{\varepsilon}{R}$$

Значит, запас энергии катушки

$$W_L=\frac{LI^2}{2}=\frac{L\varepsilon^2}{2R^2}$$

Вот сумма всех запасенных энергий и выделится в резисторе при размыкании ключа:

$$W=W_L+W_C=\frac{L\varepsilon^2}{2R^2}+\frac{C\varepsilon^2}{2}$$

Ответ: $ W=\frac{L\varepsilon^2}{2R^2}+\frac{C\varepsilon^2}{2}$.

Задача 3.

Заряженный конденсатор емкости $C$ замыканием ключа $K$ подключают к двум параллельно соединенным катушкам с индуктивностями $L_1$  и $L_2$.

Рисунок к задаче 3

Максимальный ток, протекающий через катушку $L_1$, равен $I_1$. Определите первоначальный заряд $q_0$ на конденсаторе. Сопротивления катушек и подводящих проводов пренебрежимо малы.

Решение. В цепи нет ни одного сопротивления. Катушки в установившемся режиме можно заменить просто на отрезки провода. Поэтому в цепи в этом режиме течет ток короткого замыкания $I_k=\frac{\varepsilon}{r}$. Это ток разделяется на два тока через катушки:

$$I_k=I_1+I_2$$

$I_1$ - установившийся ток катушки 1, $I_2$ - катушки 2.

Напряжения на катушках одинаковы (соединены параллельно). Запишем напряжение на каждой из катушек:

$$U_1=L_1\frac{\Delta I_1}{\Delta t}$$

Где $\Delta I_1=I_1-I_0$.

$$U_2=L_2\frac{\Delta I_2}{\Delta t}$$

Где $\Delta I_2=I_2-0=I_2$.

Тогда

$$U_1=U_2$$

$$L_1(I_1-I_0)=L_2I_2$$

$$ L_1(I_1-I_0)=L_2(I_k-I_1)$$

$$I_1(L_1+L_2)=L_2I_k+L_1I_0$$

$$I_1=\frac{ L_2I_k+L_1I_0}{ L_1+L_2}=\frac{ L_2\frac{\varepsilon}{r}+L_1I_0}{ L_1+L_2}$$

$$I_2=I_k-I_1=\frac{\varepsilon}{r}-\frac{ L_2\frac{\varepsilon}{r}+L_1I_0}{ L_1+L_2}$$

$$I_2=\frac{ L_1\varepsilon-L_1rI_0}{ r(L_1+L_2)}$$

Ответ: $I_1=\frac{ L_2\frac{\varepsilon}{r}+L_1I_0}{ L_1+L_2}$, $ I_2=\frac{ L_1\varepsilon-L_1rI_0}{ r(L_1+L_2)}$.

Задача 4.

Катушки 1 и 2, имеющие индуктивности $L_1$ и $L_2$ соответственно, подключены через ключи $K_1$ и $K_2$ к конденсатору емкости $C$.

Рисунок к задаче 4

В начальный момент времени оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности потенциалов $U_0$. Сначала замкнули ключ $K_1$ и, когда напряжение на конденсаторе стало равным нулю, замкнули ключ $K_2$. Определите максимальный $I_1max$ и минимальный $I_1min$ токи, протекающие через катушку 1 после замыкания ключа $K_2$.

Решение. Так как напряжение на конденсаторе нулевое, то вся энергия сосредоточена в этот момент в катушках:
$$\frac{CU^2}{2}=\frac{L_1I_1^2}{2}+\frac{L_2I_2^2}{2}$$

Ток единый в обеих катушках:

$$CU^2=(L_1+L_2)I_{1max}^2$$

Откуда

$$I_{1max}=U\sqrt{\frac{C}{L_1+L_2}}$$

Минимальный ток в катушке 1 будет равен нулю. Так как вторая катушка подключена параллельно ключу, то в ней ток не меняется по закону Кирхгофа. То есть он все время равен $I_{1max}$. Ток в первой катушке «пульсирует» от нуля до $I_{1max}$, разность этого тока и тока во второй катушке ответственна за зарядку конденсатора.

Ответ: $I_{1max}=U\sqrt{\frac{C}{L_1+L_2}}$, $I_{1min}=0$.