Изменения энергии тела в полете

Докажем, что энергия будет сохраняться на всем протяжении полета тела с обрыва и найдем зависимость энергии от времени. Вспомним кинематику: движение тела под углом к горизонту.

Задача. Тело массой $m$ брошено со скоростью $\upsilon_0$ под углом $\alpha$ к горизонту с высоты $h$. Найти зависимость потенциальной и кинетической энергии от времени полета.  Показать, что в этом случае выполняется закон сохранения механической энергии. В какой момент времени кинетическая энергия равна потенциальной энергии тела? При каких начальных условиях это возможно? Сопротивление воздуха не учитывать.

Тело брошено с обрыва

Проанализируем происходящее с телом. Сначала скорость его будет уменьшаться, пока оно не достигнет максимальной высоты полета. В точке максимального подъема вертикальная составляющая скорости будет равна нулю:

$$\upsilon_y=\upsilon_0 \sin{\alpha}-gt_p=0$$

Отсюда время подъема тела $t_p$:

$$t_p=\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}$$

Высота подъема тела:

$$H=\upsilon_0 \sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{g}-\frac{g\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g^2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g}$$

Время падения мы можем найти, зная высоту, с которой падало тело - $h_{max}=h+H$.

$$ h_{max}=h+\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g}=\frac{2gh+\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g}$$

$$h_{max}=\frac{gt_{pad}^2}{2}$$

$$ t_{pad}^2=\frac{2gh+\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{g^2}$$

$$ t_{pad}=\sqrt{\frac{2gh+\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{g^2}}$$

$$\upsilon_{pad}=gt_{pad}=\sqrt{2gh+\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}$$

Пусть точка старта – точка 1, точка наивысшего подъема – точка 2, точка приземления – точка 3. Тогда в первой точке потенциальная энергия равна

$$E_{p1}=mgh$$

Кинетическая:

$$E_{k1}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

Полная энергия:

$$E_1= mgh+\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

Во второй точке – на максимуме подъема – потенциальная энергия:

$$E_{p2}=mg(h+H)=mgh+\frac{mg\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g}= mgh+\frac{m\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2}$$

Кинетическая:

$$E_{k2}=\frac{m\upsilon_0^2\cos^2{\alpha}}{2}$$

Полная энергия:

$$E_2= mgh+\frac{m\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2}+\frac{m\upsilon_0^2\cos^2{\alpha}}{2}=mgh+\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

В точке 3 – месте падения – потенциальная энергия равна 0.

$$E_{p3}=0$$

Найдем кинетическую энергию:

$$E_{k3}=\frac{m\upsilon_{pad}^2}{2}=\frac{m(2gh+\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha})}{2}=mgh+\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

Как видно, энергия сохраняется во всех трех точках.

Получим зависимость полной энергии тела от времени.

Кинетическая энергия:

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m}{2}\cdot (\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}+(\upsilon_0 \sin{\alpha}-gt)^2)= \frac{m}{2}\cdot (\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}+\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}-2gt\upsilon_0 \sin{\alpha}+g^2t^2)=$$

$$ E_k =\frac{m}{2}\cdot (\upsilon_0^2 -2 gt\upsilon_0 \sin{\alpha}+g^2t^2)$$

Потенциальная энергия:

$$E_p=mgh(t)=mg(h+\upsilon_0 \sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2})$$

Теперь определим, в какой момент времени потенциальная энергия будет равна кинетической:

$$E_k=E_p$$

$$\frac{m}{2}\cdot (\upsilon_0^2 -2 gt\upsilon_0 \sin{\alpha}+g^2t^2)= mg(h+\upsilon_0 \sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2})$$

$$\frac{\upsilon_0^2}{2}- gt\upsilon_0 \sin{\alpha}+\frac{g^2t^2}{2}= gh+\upsilon_0 \sin{\alpha}gt-\frac{g^2t^2}{2}$$

$$g^2t^2-2g\upsilon_0 \sin{\alpha}t+\frac{\upsilon_0^2}{2}-gh=0$$

Получили обычное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D=4g^2\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}-4g^2(\frac{\upsilon_0^2}{2}-gh)= 4g^2\upsilon_0^2(\sin^2{\alpha}-\frac{1}{2}+\frac{gh}{\upsilon_0^2})$$

$$t=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g} \pm \frac{\upsilon_0}{g}\sqrt{\sin^2{\alpha}-\frac{1}{2}+\frac{gh}{\upsilon_0^2}}$$