Импульс системы тел 3

Задача 1. Артиллерист стреляет из пушки ядром массой $m$ так, что оно может упасть в неприятельском лагере на расстоянии $L$  от пушки. Однако в момент выстрела на ядро садится барон Мюнгхаузен, масса которого $M=5m$. Какую часть пути $s$ до неприятельского лагеря ему придется идти пешком?

---

 

По закону сохранения импульса $m\upsilon_0=(M+m)\upsilon_1$

$$\upsilon_1=\frac{ m\upsilon_0}{M+m}=\frac{\upsilon_0}{6}$$

Ядро с Мюнгхаузеным летит в 6 раз медленнее. Время, необходимое для достижения наивысшей точки в первом случае:

$$\upsilon_0 t_0=\frac{g{t_0}^2}{2}$$

$$t_0=  \frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}$$

Тогда во втором случае (с Мюнгхаузеным)

$$\upsilon_1 t_1=\frac{g{t_1}^2}{2}$$

$$t_1=  \frac{2\upsilon_1 \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha}}{3g}$$

В первом случае ядро долетает до лагеря:

$$L=\upsilon_0 \cos{\alpha}t_0=\upsilon_0 \cos{\alpha}\cdot \frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}$$

$$L=\frac{2{\upsilon_0}^2 \cos{\alpha}\sin{\alpha}}{g}$$

Путь, который пролетит ядро с бароном:

$$L_1=\upsilon_1 \cos{\alpha}t_1= \frac{\upsilon_0}{6}\cos{\alpha}\cdot \frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{3g}$$

$$L_1=\frac{{\upsilon_0}^2 \cos{\alpha}\sin{\alpha}}{9g}$$

Тогда барону придется идти пешком часть пути, равную:

$$\frac{L-L_1}{L}=\frac{35}{36}$$

Ответ: придется пройти $\frac{35}{36}$ пути пешком.

 

Задача 2. На корме и на носу лодки на расстоянии $l=3,4$ м друг от друга сидят рыболовы, массы которых $m_1=90$ кг и $m_2=60$ кг. Рыболовы меняются местами. Каково при этом перемещение лодки, если ее масса $M=50$ кг? Может ли перемещение лодки быть больше ее длины?

---

 

Составим закон сохранения импульса для такой системы тел. Рыболовы перемещаются одновременно, то есть с одной скоростью, но в разных направлениях, поэтому импульсы их будут иметь разные направления. Направим ось $x$ вдоль лодки так, что первый рыболов идет по ней в положительном направлении. Тогда:

$$m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_1+(m_1+m_2+M)\upsilon_2=0$$

Здесь для рыболовов мы знаем направления их импульсов и ставим соответствующие знаки, а для лодки пока ставим «плюс» - а потом выяснится, были мы правы или нет. Справа в уравнении стоит ноль, потому что суммарный импульс системы был нулевым до того, как рыболовы начали движение. Тогда:

$$\upsilon_2=\frac m_1 \upsilon_1-m_2 \upsilon_1}{-(m_1+m_2+M)}=\frac{30\upsilon_1}{200}$$

$$\upsilon_2=\frac{3 \upsilon_1}{20}$$

Скорость перемещения рыболова равна $\upsilon_1=\frac{l}{t}$, или $t =\frac{l}{ \upsilon_1}$

Перемещение лодки происходит за то же время:

$$l_1=\upsilon_2 t=\frac{3\upsilon_1}{20}\frac{l}{ \upsilon_1}=0,15l=0,51$$

Ответ: лодка переместится на $0,51$ метра. Перемещение лодки никогда не может быть больше ее длины, так как масса лодки с рыболовами всегда больше массы рыболовов.

 

Задача 3. Лягушка массой $m_$ сидит на конце доски массой $M$ и длиной $l$. Доска плавает на поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом $\alpha$ к горизонту вдоль доски. Какой должна быть скорость лягушки $\upsilon$, чтобы она оказалась на другом конце доски?

---

 

Горизонтальная составляющая скорости лягушки равна:

$$\upsilon_{gor}=\upsilon \cos{\alpha}$$

Тогда закон сохранения импульса системы тел запишется:

$$m\upsilon \cos{\alpha}=M\upsilon_M$$

Откуда

$$\upsilon_M=\frac{ m\upsilon \cos{\alpha}}{M}$$

Вертикальная составляющая скорости лягушки $\upsilon \sin{\alpha}$. Она равна нулю в наивысшей точке полета лягушки, поэтому

$$\upsilon \sin{\alpha}=\frac{gt}{2}$$

Откуда время:

$$t=\frac{2\upsilon \sin{\alpha}}{g}$$

Так как, очевидно, при прыжке лягушки вперед доска начнет плыть в противоположном направлении, то необходимо, чтобы за время $t$ суммарная скорость доски и лягушки (скорость сближения) обеспечила попадание лягушки в противоположный конец доски, то есть:

$$(\upsilon_{gor}+\upsilon_M)t=l$$

$$\left(\upsilon \cos{\alpha}+\frac{ m\upsilon \cos{\alpha}}{M}\right) \frac{2\upsilon \sin{\alpha}}{g}=l$$

Перепишем:

$$\frac{\upsilon^2 \cdot 2 \cos{\alpha}\sin{\alpha}}{g}\left(1+\frac{m}{M}\right)=l$$

$$\frac{\upsilon^2 \cdot \sin{2\alpha}}{g}\left(1+\frac{m}{M}\right)=l$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{lg}{\sin{2\alpha}\left(1+\frac{m}{M}\right)}}$$

 

Задача 4. Струя воды ударяет в стенку и стекает по ней. Оценить давление струи на стенку, если скорость течения воды в струе $\upsilon=10$ м/с?

---

 

Так как струя стекает, а не отскакивает, то удар не является упругим. Тогда изменение импульса струи: $\Delta p=F \Delta t$

$$m \Delta \upsilon= F \Delta t$$

Масса воды в струе длиной $l$ и площадью сечения $S$: $m=\rho V=\rho \cdot l \cdot S$

$$\rho \cdot l \cdot S \Delta \upsilon= F \Delta t$$

Время можно определить как $\Delta t=\frac{l}{\Delta \upsilon}$

$$\rho \cdot l \cdot S \Delta \upsilon= F \frac{l}{\Delta \upsilon}$$

$$\rho  \cdot S \Delta \upsilon= F \frac{1}{\Delta \upsilon}$$

$$F=\rho  \cdot S {\Delta \upsilon}^2}$$

Давление – это сила, приходящаяся на единицу площади:

$$P=\frac{F}{S}=\rho{\Delta \upsilon}^2}=10^3 \cdot 10^2=10^5$$

Ответ: $P=10^5$ Па

 

Задача 5. Найти минимальную силу трения между колесами автомобиля и дорогой, чтобы он мог двигаться со скоростью $\upsilon=30$ м/с под дождем в безветренную погоду. Масса дождевой капли $m=0,1$ г. Считать, что на каждый см$^2$ за одну секунду падают две капли дождя. Площадь поверхности автомобиля, на которую падают капли дождя, $S=5$ м$^2$.

---

 

Задача совсем несложная. Давайте определим массу воды, падающую на автомобиль в секунду. Для этого перемножим массу капли, количество капель на см$^2$ за одну секунду и площадь поверхности автомобиля, не забыв все величины представить в единицах СИ:

$$\Delta{m}=2\cdot m \cdotS=2\cdot 10^{-4} \cdot 5 \cdot 10^4=10$$

Получили 10 кг (в секунду).

То есть импульс автомобиля ежесекундно меняется на $\Delta{m} \upsilon=300$ Н/с.

Тогда $\Delta p=\Delta{m} \upsilon=F \Delta t$, откуда $F=\frac{{\Delta m} \upsilon}{\Delta t}=300$ Ньютонов.

Ответ: 300 Н

 

Задача 6. На абсолютно гладкой поверхности лежит обруч массой $M$ и радиусом $R$. На обруче находится жук, масса которого $m$. Какие траектории будут описывать жук и центр обруча при движении жука по обручу?

---

 

Так как поверхность совсем гладкая, то закон сохранения импульса соблюдается (дальше все величины с индексом О относятся к обручу, а с индексом $g$ -  к жуку):

$$m\upsilon_g=(M+m)\upsilon_O$$

$$\upsilon_O=\frac{m\upsilon_g}{M+m}$$

Скорость жука относительно земли равна $\upsilon_g-\upsilon_O$

Радиус окружности, по которой движется жук, можно найти, зная его скорость относительно земли и угловую скорость:

$$R_g=\frac{\upsilon_g-\upsilon_O}{\omega}=\frac{\upsilon_g-\upsilon_O}{2\pi\nu}=\frac{(\upsilon_g-\upsilon_O)T}{2\pi}$$

Определим скорость жука относительно земли:

$$\upsilon_g-\upsilon_O=\upsilon_g-\frac{m\upsilon_g}{M+m}=\upsilon_g\left(1-\frac{m}{M+m}\right)$$

$$\upsilon_g-\upsilon_O=\upsilon_g \frac{M}{M+m}$$

Тогда

$$R_g=\frac{(\upsilon_g-\upsilon_O)T}{2\pi}=\frac{\upsilon_g \frac{M}{M+m}T}{2\pi}$$

Период $T$ - это такое время, за которое жук пробегает полный круг. Длина окружности, по которой перемещается жук, равна $2\pi R$, его скорость $\upsilon_g$, поэтому

$$T=\frac{2\pi R }{\upsilon_g }$$

Подставим в формулу для радиуса окружности, описываемой жуком:

$$R_g=\frac{\upsilon_g \frac{M}{M+m}T}{2\pi}=\frac{RM}{M+m}$$

Теперь найдем радиус окружности, описываемый обручем:

$$\upsilon_O=\frac{m\upsilon_g}{M+m}$$

$$R_O=\frac{\upsilon_g T}{ 2\pi }=\frac{\upsilon_O 2\pi R}{ 2\pi \upsilon_g }=\frac{R \upsilon_O }{ \upsilon_g }=\frac{mR}{M+m}$$

Ответ: радиус окружности жука: $\frac{RM}{M+m}$  радиус, описываемый обручем: $\frac{mR}{M+m}$