Закон сохранения импульса: снаряды, частицы, космонавты...

Задачи "пришли" с ученицей. Задачи как из задачника Савченко, так и подборок МГТУ. Сильные, интересные задачи, рекомендую.

Задача 1.

Протон с начальной скоростью $\upsilon$ летит прямо на первоначально покоящееся ядро гелия. Какова скорость частиц при наибольшем их сближении? Масса ядра гелия равна учетверенной массе протона.

Протон заряжен положительно, ядро гелия – тоже. Они начнут взаимно отталкиваться и первоначально неподвижное ядро гелия станет набирать скорость, удаляясь от протона. Когда их скорости сравняются, они станут взаимно неподвижны и именно в этот момент расстояние между ними станет минимальным. Тогда

$$m_p\upsilon=m_p\upsilon_1+m\upsilon_2$$

$$\upsilon_1=\upsilon_2$$

$$m_p\upsilon=m_p\upsilon_1+4m_p\upsilon_1$$

Откуда

$$\upsilon=5\upsilon_1$$

$$\upsilon_1=\frac{\upsilon }{5}$$

Ответ: $0,2\upsilon$.

Задача 2.

Снаряд разрывается в наивысшей точке траектории на расстоянии $L$ по горизонтали от пушки на два одинаковых осколка. Один из них вернулся по той же траектории назад к орудию. Где упал второй осколок?

Записываем закон сохранения импульса:

$$(m_1+m_2)\upsilon=-m_1\upsilon_1+m_2\upsilon_2$$

Так как первый осколок вернулся в точку старта, то его скорость равна скорости снаряда в момент разрыва по модулю.

$$(m_1+m_2)\upsilon=-m_1\upsilon+m_2\upsilon_2$$

$$ m_2\upsilon_2=(2m_1+m_2)\upsilon$$

$$\upsilon_2=3\upsilon$$

С утроенной скоростью осколок улетит втрое дальше – на $3L$ от места разрыва, а от места выстрела – на $4L$.

Ответ: $4L$.

Задача 3.

При $\beta$-распаде первоначально покоящегося нейтрона образуются протон, электрон и нейтрино. Импульсы протона и электрона $p_1$ и $p_2$, угол между ними $\alpha$. Определите импульс нейтрино.

Векторная сумма импульсов образовавшихся частиц равна импульсу нейтрона, то есть нулю:

$$\vec{p_1}+\vec{p_2}+\vec{p_{\nu}}=0$$

Поэтому импульс нейтрино можно найти по теореме косинусов:

$$ p_{\nu}=\sqrt{p_1^2+p_2^2-2p_1p_2\cos(180-\alpha)}$$

Задача 4.

Радиоактивное ядро распалось на три осколка $m_1$, $m_2$ и $m_3$, имеющих скорость $\upsilon_1$, $\upsilon_2$ и $\upsilon_3$ соответственно. Какова была скорость ядра до распада?

Импульс ядра можно найти по теореме Пифагора:

$$p_1^2+p_2^2+p_3^2=p_0^2$$

$$ p_0=\sqrt{ p_1^2+p_2^2+p_3^2}$$

$$(m_1+m_2+m_3)\upsilon_0=\sqrt{ m_1^2 \upsilon_1^2+m_2^2\upsilon_2^2+m_3^2\upsilon_3^2}$$

$$\upsilon_0=\frac{\sqrt{ m_1^2 \upsilon_1^2+m_2^2\upsilon_2^2+m_3^2\upsilon_3^2}}{ m_1+m_2+m_3}$$

Задача 5.

Космонавт массы $m_1$ приближается к космическому кораблю массы $m_2$ с помощью легкого троса. Первоначально космонавт и корабль неподвижны, а расстояние между ними $l$. Какие расстояния пройдут корабль и космонавт до встречи?

По закону сохранения импульса

$$M\upsilon_k=m\upsilon$$

$$\frac{\upsilon_k }{\upsilon}=\frac{m}{M}$$

Вместе корабль и космонавт покрыли расстояние $l$:

$$l=(\upsilon_k+\upsilon)t$$

$$l=(\frac{m}{M}\upsilon+\upsilon)t$$

Тогда

$$\upsilon t =\frac{Ml}{M+m}$$

Следовательно,

$$\upsilon_k t =\frac{ml}{M+m}$$

Ответ: корабль преодолеет расстояние $\frac{ml}{M+m}$, космонавт $\frac{Ml}{M+m}$.

Задача 6.

На гладкой горизонтальной плоскости стоит брусок массой $M$. К бруску привязана нить длиной $L$, на конце которой закреплен шарик массой $m$. В начальный момент нить была отклонена на некоторый угол и отпущена без начальной скорости. Найдите скорость бруска в момент, когда нить проходит через вертикальное положение, зная, что ее угловая скорость в этот момент равна $\omega$.

Определим координату центра тяжести системы:

$$x=\frac{1}{M}\sum m_kx_k$$

$$x=\frac{1}{M}(m\cdot 0+ML)=\frac{ML}{m+M}$$

Вокруг центра тяжести в момент вертикального положения нити брусок и шарик двигаются по радиусам: шарик - $r=\frac{ML}{m+M}$, брусок –

$$R=L-r=L-\frac{ML}{m+M}=\frac{mL}{m+M}$$

Таким образом, скорость бруска в этот момент равна

$$\upsilon=R\omega=\frac{mL\omega}{m+M}$$

Ответ: $\upsilon=\frac{mL\omega}{m+M}$.

Задача 7. Снаряд, который летел в горизонтальном направлении со скоростью $\upsilon$, разорвался на два осколка массами $m_1$ и $m_2$. Скорость осколка $m_1$ равна $\upsilon_1$ и направлена вертикально вверх. Определить модуль и направление скорости второго осколка массой $m_2$.

Сумма импульсов кусков равна импульсу снаряда до разрыва. Тогда можно применить теорему Пифагора:

$$(m_1+m_2)^2\upsilon^2+m_1^2\upsilon_1^2=m_2^2\upsilon_2^2$$

Откуда

$$\upsilon_2=\frac{\sqrt{(m_1+m_2)^2\upsilon^2+m_1^2\upsilon_1^2}}{m_2}$$

Направление проще всего вычислить через тангенс:

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{ m_1\upsilon_1}{(m_1+m_2)\upsilon}$$