Закон сохранения импульса - задачник Замятнина для 9 класса - часть 2

Задача 8.7.

 Под каким углом $\alpha$ к горизонту необходимо бросить камень, чтобы модуль изменения импульса за всё время полёта был равен модулю начального импульса? Точка падения находится на той же высоте, что и точка броска.

Решение. Горизонтальная составляющая скорости не изменится. Изменится вертикальная: она развернется вниз. Таким образом,

$$\Delta \upsilon=2\upsilon_0\sin\alpha$$

А изменение импульса –

$$\Delta p=\Delta \upsilon m=2m\upsilon_0\sin\alpha$$

И это равно модулю начального импульса:

$$2m\upsilon_0\sin\alpha= m\upsilon_0$$

Тогда

$$\sin \alpha=\frac{1}{2}$$

Ответ: $\alpha=30^{\circ}$.

 

Задача 8.8.

 На две частицы — одну массой $m$, летящую со скоростью $\upsilon$, другую массой $2m$, летящую со скоростью $2\upsilon$ перпендикулярно к первой, — в течение некоторого времени действуют одинаковые по модулю и направлению силы. К моменту прекращения действия сил первая частица начинает двигаться в обратном направлении со скоростью $2\upsilon$. С какой скоростью будет двигаться вторая частица?

Решение. Изменение импульса первой частицы равно

$$\Delta p=2m\upsilon-(-m\upsilon)=3m\upsilon$$

Значит, сила, действовавшая на нее, равна

$$F=\frac{3m\upsilon }{t}$$

Точно такая же сила действует и на вторую частицу. Только направлена она перпендикулярно той скорости, которую частица уже имеет, и поэтому на нее не повлияет, а добавит частице составляющую скорости, перпендикулярную первоначальной:

Рисунок к задаче 8.8

$$\upsilon_{perp}=\frac{Ft}{2m}=1,5\upsilon$$

Тогда окончательная скорость второй частицы равна

$$\upsilon_2=\sqrt{(2\upsilon)^2+(1,5\upsilon)^2}=2,5\upsilon$$

Ответ: $\upsilon_2=2,5\upsilon$.

Задача 8.9.

 На тело, движущееся со скоростью $\upsilon_0$​, начинает действовать постоянная сила. Спустя время $\Delta t$ скорость тела становится перпендикулярной начальной, не изменившись по модулю. Какой станет скорость тела спустя ещё $\Delta t$?

Решение. Сила такова, что изменила начальную скорость тела до нуля, и при этом развила у тела такую же, но перпендикулярную по направлению. Значит, у силы две составляющие: одна направлена против начальной скорости, вторая, такая же – перпендикулярная первой. Обе они равны

$$F_x=F_y=\frac{ m\upsilon_0}{\Delta t }$$

Спустя еще такое же время сила, имеющая две такие составляющие, разовьет у тела горизонтальную скорость (такую же точно, как у тела и была вначале, но направленную противоположно), и, конечно, удвоит вертикальную составляющую:

Рисунок к задаче 8.9

Тогда окончательно скорость тела станет равна

$$\upsilon=\sqrt{(2\upsilon_0)^2+(\upsilon_0)^2}=\upsilon_0\sqrt{5}$$

Ответ: $\upsilon=\upsilon_0\sqrt{5}$

Задача 8.10.

 Тело, движущееся с постоянной скоростью $\upsilon$, попадает в область, в которой на него начинает действовать постоянная сила $F$. Спустя время $\tau$ скорость тела становится равной $2\upsilon$ и направленной перпендикулярно начальной. С какой скоростью и под каким углом к начальному курсу из этой области вылетело бы тело:
а) вдвое большей массой;
б) с начальной скоростью $2\upsilon$?

Решение. Сила такова, что изменила начальную скорость тела до нуля, и при этом развила у тела удвоенную, но перпендикулярную по направлению. Значит, у силы две составляющие: одна направлена против начальной скорости, и вторая, вдвое большая – перпендикулярная первой. Они равны соответственно

$$F_x=\frac{ m\upsilon_0}{\tau }$$

$$F_y=\frac{ 2m\upsilon_0}{\tau }$$

Рисунок к задаче 8.10

а) Если у тела масса будет вдвое больше, оно разовьет скорость вдвое меньшую:

$$\upsilon_a=\frac{\sqrt{\upsilon_x^2+\upsilon_y^2}}{2}=\upsilon\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Угол вылета при этом составляет

$$\alpha=\operatorname{arctg} 2$$

б) Если же у тела будет вдвое большая начальная скорость, то сила не сможет изменить ее до нуля, а только уменьшит до $\upsilon$, по вертикали же тело все равно разовьет скорость $2\upsilon$. В итоге скорость тела составит

$$\upsilon_b=\sqrt{\upsilon_x^2+\upsilon_y^2}=\upsilon\sqrt{5}$$

А угол вылета такой же!

Ответ: а) $\upsilon_a=\upsilon\frac{\sqrt{5}}{2}$, $\alpha=\operatorname{arctg} 2$; б) $\upsilon_b=\upsilon\sqrt{5}$, $\beta=\operatorname{arctg} 2$

 

Задача 8.11.

 Первоначально неподвижное тело, находящееся на горизонтальной плоскости, начали тянуть за привязанную к нему верёвку с постоянной горизонтальной силой $F$. Через время $\Delta t$ действие этой силы прекратилось. Какая сила трения действовала на тело во время его движения, если оно остановилось спустя время $3\Delta t$ после начала движения?

Решение. Очевидно, что, раз санки остановились не сразу, они имели к моменту прекращения действия силы некоторую скорость. А сила на них, очевидно, действовала такая: $F-F_{tr}$. Тогда по закону сохранения импульса

$$m\upsilon=( F-F_{tr})\Delta t$$

Далее, после прекращения действия силы, санки тормозят только под действием силы трения, и снова меняют свой импульс на ноль:

$$m\upsilon=3\Delta t F_{tr}$$

Приравниваем:

$$( F-F_{tr})\Delta t=3\Delta t F_{tr}$$

$$ F-F_{tr}=3F_{tr}$$

$$ F_{tr}=\frac{1}{4}F$$

Ответ: $ F_{tr}=\frac{1}{4}F$

Задача 8.12.

 Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом $p$ под углом $\alpha$ к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить двигатель с силой тяги $F$ и как при этом ориентировать ось двигателя?

Рисунок к задаче 8.12

Решение. У корабля изменился импульс по горизонтальной оси:

$$\Delta p_x=p\cos \alpha-p=p(\cos \alpha-1)$$

И по вертикальной:

$$\Delta p_y=p\sin \alpha-0= p\sin \alpha $$

Новые составляющие импульса по осям

Тогда изменение импульса таково:

$$\Delta p=\sqrt{p_x^2+p_y^2}=p\sqrt{(\cos \alpha-1)^2+\sin^2 \alpha}=p\sqrt{2-2\cos\alpha}=p\sqrt{2}\sqrt{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}=2p\sin \frac{\alpha}{2}$$

А время воздействия

$$\tau=\frac{\Delta p}{F}=\frac{2p\sin \frac{\alpha}{2}}{ F} $$

Ось двигателя надо направить под углом $90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$:

Определяем, куда направить ось двигателя корабля

Чтобы это понять, надо найти:

$$\operatorname{tg}x=\frac{\sin\alpha}{1-\cos \alpha}=\frac{\sin\alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}=\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}$$

Ответ: $\tau=\frac{2p\sin \frac{\alpha}{2}}{ F} $, $x=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$