Закон сохранения импульса - задачник Замятнина для 9 класса

Задача 8.1. 

Футболист бьёт по мячу со средней силой $F=500$ Н. Мяч после удара улетает под углом $45^{\circ}$ к горизонту и приземляется на расстоянии $l=40$ м. Определите время удара по мячу. Масса мяча равна $m=0,5$ кг.

Решение. Найдём начальную скорость мяча $\upsilon_0$​ из формулы дальности полёта тела, брошенного под углом к горизонту:

$$L=\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}$$

$$\upsilon_0=\sqrt{\frac{gL}{\sin 2\alpha }}$$
Отсюда 

$$\upsilon_0=\sqrt{gL}$$

По второму закону Ньютона в импульсной форме: 

$$F\Delta t=m\Delta \upsilon$$
Так как мяч изначально покоился, $\Delta \upsilon=\upsilon_0$.
Тогда 

$$F\Delta t=m\upsilon_0$$

$$\Delta t=\frac{m\upsilon_0}{F}=\frac{m\sqrt{gL}}{F}=\frac{0,5\sqrt{400}}{500}=0,02$$
Ответ: время удара по мячу составляет примерно 0,02 с.

Задача 8.2.

 На покоящееся тело массой $m=5$ кг начинает действовать сила $F$, величина которой убывает со временем по линейному закону до 0, как показано на рисунке. Какую скорость приобретёт тело?

Рисунок к задаче 8.2

Решение. По второму закону Ньютона в импульсной форме: 

$$F\Delta t=m\Delta \upsilon$$
Так как тело изначально покоилось, $\Delta \upsilon=\upsilon$. Но сила у нас – переменная.
А ведь произведение $\frac{ F\Delta t }{2}$ есть площадь треугольника под графиком, поэтому

$$\frac{F\Delta t}{2}=m\upsilon$$

Тогда

$$\upsilon=\frac{ F\Delta t }{2m}=\frac{2\cdot 5}{2\cdot 5}=1$$

Ответ: 1 м/с

Задача 8.3. 

Какую скорость может сообщить футболист мячу при ударе, если максимальная сила, с которой он может действовать на мяч, равна $F_{max}=3,5$ кН, а время удара $t_0=8\cdot10^{−3}$ с? Сила во время удара нарастает и спадает по линейному закону. Масса мяча $m=0,5$ кг.

Рисунок к задаче 8.3

Решение. Импульс силы равен площади под графиком: 

$$\Delta p=\frac{F_{max}t_0}{2}$$
По теореме об изменении импульса: 

$$\Delta p=m\upsilon$$

где $\upsilon$ — конечная скорость мяча (начальная скорость равна 0).
То есть

$$\frac{F_{max}t_0}{2}= m\upsilon$$

$$\upsilon=\frac{F_{max}t_0}{2m}=\frac{3500\cdot 0,008}{0,5}=56$$

Ответ: футболист может сообщить мячу скорость 56 м/с.

Задача 8.4.

 На неподвижное тело массой $m$, находящееся на горизонтальной абсолютно гладкой плоскости, в момент времени $t=0$ начинает действовать сила, направленная вдоль горизонтальной оси $Ox$. На рисунке представлен график зависимости проекции $F(x)$​ этой силы от времени $t$. Определите модуль импульса тела в момент времени $t=4t_0$​.

Рисунок к задаче 8.4

Решение. Изменение импульса определим как площадь под графиком силы, изменение импульса и будет равно импульсу тела, так как начальный импульс нулевой:

$$\Delta p=p=\frac{t_0+1,5t_0}{2}\cdot F_0-\frac{1,5t_0F_0}{2}=0,5F_0t_0$$

Ответ: $p=0,5F_0t_0$

Задача 8.5.

 Тело массой $m$ вращается с постоянной скоростью $\upsilon$ по окружности радиусом $R$. Определите модуль среднего значения центробежной силы за:
а) четверть периода;
б) полпериода;
в) период.

Решение. Здесь ключевой момент – то, что импульс – величина векторная. По второму закону Ньютона в импульсной форме: 

$$F\Delta t=\Delta p$$
$$F=\frac{\Delta p }{\Delta t }$$

Рисунок к задаче 8.5

В случае а) мы подставим вместо $\Delta t=\frac{T}{4}$, в б) - $\frac{T}{2}$, ну а в случае в), совершенно очевидно, $\Delta p=0$, так как скорость такая же, как при старте.

Рассмотрим случай б). Так как пройдет половина периода, скорость изменится на противоположную. То есть $\Delta p=2\upsilon m$. Тогда

$$F=\frac{2\upsilon m }{\frac{T}{2} }=\frac{4\upsilon m }{T}$$

Осталось вспомнить, что есть период:

$$T=\frac{2\pi R}{\upsilon}$$

$$F=\frac{4\upsilon m }{\frac{2\pi R}{\upsilon}}=\frac{2m\upsilon^2}{\pi R}$$

Теперь случай а), самый запутанный.

$$\frac{T}{4}=\frac{2\pi R}{4\upsilon}=\frac{\pi R}{2\upsilon}$$

$$F=\frac{\Delta p}{\Delta t}$$

Как найти в данном случае $\Delta p$, можно увидеть на рисунке:

$$\Delta \upsilon=\sqrt{2}\upsilon$$

$$F=\frac{m\Delta \upsilon}{\frac{T}{4}}=\frac{m\sqrt{2}\upsilon}{\frac{\pi R}{2\upsilon}}=\frac{2\sqrt{2}m\upsilon^2}{\pi R}$$

Ответ: а) $F=\frac{2\sqrt{2}m\upsilon^2}{\pi R}$; б) $F=\frac{2m\upsilon^2}{\pi R}$; в) 0

Задача 8.6.

 Тело массой $m$ брошено под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $\upsilon_0$​. Найдите изменение импульса тела за время полёта. Точка падения находится на той же высоте, что и точка броска.

Решение. Горизонтальная составляющая скорости не изменится. Изменится вертикальная: она развернется вниз. Таким образом,

$$\Delta \upsilon=2\upsilon_0\sin\alpha$$

А изменение импульса –

$$\Delta p=\Delta \upsilon m=2m\upsilon_0\sin\alpha$$

Ответ: $\Delta p=2m\upsilon_0\sin\alpha$.