Задачник Добродеева, сохранение импульса - 5

Задача 5.15.

Ядро, летевшее в горизонтальном направлении со скоростью $\upsilon = 20$ м/с, разорвалось на две части, массы которых $m_1 = 10$ кг и $m_2 = 5$ кг. Скорость второго осколка $\upsilon_2= 90$ м/с и направлена так же, как и скорость ядра. Определить величину и направление скорости $\upsilon_1$ первого осколка.

Решение. Записываем закон сохранения импульса системы:

$$(m_1+m_2)\upsilon=m_1\upsilon_1+ m_2\upsilon_2$$

$$15\cdot20=10\cdot\upsilon_1+ 5\cdot 90$$

$$\upsilon_1=30-45=-15$$

Ответ: второй осколок летит в обратном направлении со скоростью 15 м/с.

Задача 5.16.

Движущееся тело распадается на два осколка с импульсами, модули которых $р_1$ и $р_2$, а направлены они под углом $\Theta$ друг к другу. Найти величину импульса $р$ распавшегося тела.

Решение. Сделаем рисунок.

Рисунок к задаче 5.16

Из него видно, что неизвестный импульс $p$ проще всего найти по теореме косинусов:

$$p^2=p_1^2+p_2^2-2p_1p_2\cos (180^{\circ}-\Theta)$$

Или

$$p^2=p_1^2+p_2^2+2p_1p_2\cos (\Theta)$$

Ответ: $p=\sqrt{ p_1^2+p_2^2+2p_1p_2\cos (\Theta)}$

Задача 5.17.

Снаряд, летевший горизонтально со скоростью $\upsilon = 200$ м/с, разрывается на две равные части, одна из которых после разрыва движется вертикально вниз со скоростью $\upsilon_1 = 150$ м/с. Какое расстояние $l$ по горизонтали пролетит второй осколок, если разрыв произошел на высоте $R = 500$ м?

Решение. Определим скорость второго осколка по ЗСИ. Очевидно, что скорость второго осколка по вертикали составит 150 м/с и будет направлена вверх, поскольку первоначально у снаряда импульс по оси $y$ был равен нулю. Значит, и суммарный импульс осколков по этой оси тоже должен быть равен нулю. По горизонтальной оси скорость осколка составит 400 м/с, так как его масса вдвое меньше массы снаряда. Определим, сколько времени второй осколок будет двигаться вверх:

$$\upsilon_k=\upsilon_0-gt$$

$$t=\frac{\upsilon_0}{g}=15$$

При этом кусок поднимется на высоту

$$H=\upsilon_0t-\frac{gt^2}{2}=150\cdot 15-5\cdot 225=1125$$

Это высота подъема над $R$, общая высота $H_0=1625$ м. Оттуда наш осколок будет падать в течение времени

$$t_{pad}=\sqrt{\frac{2H_0}{g}}=18$$

Всего осколок будет находиться в полете 33 с: 15 секунд в полете вверх, и 18 – падая. За это время по горизонтальной оси он пройдет расстояние $S=400\cdot 33=13200$ м.

Ответ: 13200 м.

Задача 5.18.

Снаряд вылетает из орудия под углом α к горизонту со скоростью $\upsilon_0$. В верхней точке траектории снаряд разрывается на две равные части, причем скорости частей непосредственно после взрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Одна часть падает на расстоянии $s$ от орудия по направлению выстрела. Определить расстояние $L$ от орудия, на котором упадет вторая часть, если известно, что она упала дальше первой.

Решение. Сделаем рисунок:

Рисунок к задаче 5.18

Запишем ЗСИ для горизонтальной оси (для точки разрыва):

$$2m\cdot \upsilon_0\cos \alpha=m\upsilon_1+m\upsilon_2$$

Сокращая массу:

$$2\cdot \upsilon_0\cos \alpha=\upsilon_1+\upsilon_2$$

Высота подъема снаряда до разрыва:

$$H=\frac{\upsilon_0^2\sin^\alpha}{2g}$$

Дальность полета целого снаряда (до точки разрыва):

$$\frac{L}{2}=\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{2g}$$

Первый осколок улетел на расстояние $\upsilon_1t$,

$$\upsilon_1t=s-\frac{L}{2}=s-\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{2g}$$

Время $t$ найдем так:

$$\upsilon_0\sin \alpha-gt=0$$

$$t=\frac{\upsilon_0\sin \alpha }{g}$$

Тогда, подставляя в выражение выше, получим:

$$\upsilon_1=\frac{ s-\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{2g}}{\frac{\upsilon_0\sin \alpha }{g}}$$

Разделим почленно:

$$\upsilon_1=\frac{ sg}{\upsilon_0\sin \alpha}-\upsilon_0\cos\alpha$$

Из ЗСИ имеем:

$$\upsilon_2=2\cdot \upsilon_0\cos \alpha-\upsilon_1$$

$$\upsilon_2=2\upsilon_0\cos\alpha+\upsilon_0\cos\alpha-\frac{sg}{\upsilon_0\sin \alpha}$$

$$\upsilon_2=3\upsilon_0\cos\alpha-\frac{sg}{\upsilon_0\sin \alpha}$$

$$\upsilon_2=\frac{3\upsilon_0^2\cos\alpha\sin \alpha-sg}{\upsilon_0\sin \alpha}$$

Теперь можно и дальность полета второго осколка найти (от места выпуска снаряда):

$$s_2=\upsilon_2t+\frac{L}{2}$$

$$s_2=\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{2g}+\frac{3\upsilon_0^2\cos\alpha\sin \alpha-sg}{g}$$

$$s_2=\frac{2\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}-s$$

Ответ: $s_2=\frac{2\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}-s$