Задачник Добродеева, сохранение импульса - 4

Задача 5.12.

Две тележки, каждая массой $М$, движутся без трения с одинаковой скоростью $\upsilon_0$. На задней тележке находится человек массы $m$. Человек прыгнул в переднюю тележку. Его скорость во время полета равна $u$ относительно задней тележки. Какой стала скорость передней тележки $\upsilon_1$?

Решение. Запишем закон сохранения импульса для задней тележки. $\upsilon_1$ - скорость передней тележки, $\upsilon_2$ - задней. Опустила знаки векторов, так как здесь все происходит вдоль одной прямой.

$$(M+m)\upsilon_0=m(u+\upsilon_2)+M\upsilon_2$$

А для передней –

$$M\upsilon_0+m(u+\upsilon_2)=(M+m)\upsilon_1$$

Из последнего определяем $\upsilon_1$:

$$\upsilon_1=\frac{ M\upsilon_0}{ M+m }+\frac{m}{ M+m}( u+\upsilon_2)$$

Первое преобразуем так:

$$(M+m)\upsilon_0=mu + m\upsilon_2+M\upsilon_2$$

$$(M+m)\upsilon_0=mu + (m+M)\upsilon_2$$

$$\upsilon_2=\upsilon_0-\frac{m}{m+M}u$$

Подставляем полученное в $\upsilon_1$:

$$\upsilon_1=\frac{ M\upsilon_0}{ M+m }+\frac{m}{ M+m}( u+\upsilon_0-\frac{m}{m+M}u)$$

$$\upsilon_1=\frac{ M\upsilon_0}{ M+m }+\frac{m}{ M+m}u+\frac{m}{ M+m}\upsilon_0-\frac{m^2}{(M+m)^2}u$$

$$\upsilon_1=\upsilon_0+\frac{m(m+M)-m^2}{(M+m)^2}u$$

$$\upsilon_1=\upsilon_0+\frac{mM}{(M+m)^2}u$$

Ответ: $\upsilon_1=\upsilon_0+\frac{mM}{(M+m)^2}u$

Задача 5.13.

Тележка массы $М = 120$ кг движется по горизонтальным рельсам без трения со скоростью $\upsilon_0 = 6$ м/с. С тележки соскакивает человек массой $m = 80$ кг под углом $\alpha = 30^{\circ}$ к направлению ее движения. Скорость тележки уменьшается при этом до $\upsilon = 5$ м/с. Какова скорость $u$ человека относительно земли во время прыжка?

Решение. Записываем закон сохранения импульса:

$$(M+m)\vec{\upsilon_0}=M\vec{\upsilon}+m\vec{u}$$

$$(M+m)\upsilon_0=M\upsilon+mu\cos\alpha$$

$$ mu\cos\alpha=(M+m)\upsilon_0-M\upsilon$$

$$u=\frac{(M+m)\upsilon_0-M\upsilon }{m\cos\alpha }=\frac{200\cdot 6-120\cdot 5}{40\sqrt{3}}=\frac{15}{\sqrt{3}}=8,67$$

Ответ: 8,67 м/с

Задача 5.14.

Две тяжелые лодки движутся навстречу друг другу параллельным курсом. Когда лодки поравнялись, с одной из них на другую осторожно переложили груз массы $m =25$ кг. После этого лодка, в которую переложили груз, остановилась, а вторая продолжала двигаться со скоростью $\upsilon = 8$ м/с. С какими скоростями $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ двигались лодки до встречи, если масса лодок $М = 1000$ кг?

Решение. Если лодка массой 1000 кг останавливается, когда в нее перекладывают груз массой 25 кг (что в 40 раз меньше ее массы), то ее скорость должна быть в 40 раз меньше скорости груза  - то есть первой лодки до снятия груза с нее. Снятие груза с первой лодки не повлияет на ее скорость – она останется равной 8 м/с. Скорость второй тогда $\frac{8}{40}=0,2$ м/с.

Ответ: $\upsilon_1=8$ м/c, $\upsilon_2=0,2$ м/с.