Задачник Добродеева, сохранение импульса - 2

Задача 5.5.

Два тела, массы которых $m_1 = 2$ кг и $m_2 = 6$ кг, движутся навстречу друг другу со скоростями $\upsilon_0 = 2$ м/с каждое. С какой скоростью $\upsilon$ и в какую сторону будут двигаться эти тела после абсолютно неупругого соударения?

Решение. Запишем закон сохранения импульса:

$$m_1\upsilon_0-m_2\upsilon_0=(m_1+m_2)\upsilon_x$$

$$\upsilon_x=\frac{ m_1\upsilon_0-m_2\upsilon_0}{ m_1+m_2}=\frac{4-12}{8}=-1$$

Тела будут двигаться с указанной скоростью в сторону, противоположную первоначальному направлению движения первого тела.

Ответ: 1 м/с

Задача 5.6.

Снаряд массой $m = 20$ кг, летевший горизонтально со скоростью $\upsilon = 500$ м/с вдоль рельсов, попадает в платформу с песком массы $М = 10$ т и застревает в песке. С какой скоростью и начнет двигаться платформа? Трением платформы о рельсы пренебречь.

Решение. Запишем закон сохранения импульса:

$$m\upsilon=(m+M)\upsilon_x$$

$$\upsilon_x=\frac{ m\upsilon}{ m+M}=\frac{20\cdot 500}{10020}=0,998$$

Ответ: скорость платформы практически равна 1 м/с.

Задача 5.7.

Платформа с закрепленным на ней орудием движется со скоростью $\upsilon_1 = 9$ км/ч. Общая масса $М = 20$ т. Из орудия выпущен снаряд массой $m = 25$ кг со скоростью $\upsilon_2 = 700$ м/с относительно центра масс. Определить скорость и платформы после выстрела, если: а) выстрел произведен по движению; б) против движения. Трением платформы о рельсы пренебречь.

Решение. Платформа движется со скоростью 2,5 м/с. Для случая а)

$$\upsilon_1 M=m(\upsilon_2+\upsilon_1)+M\upsilon_x$$

$$\upsilon_x=\upsilon_1-\frac{m}{M}(\upsilon_2+\upsilon_1)$$

$$\upsilon_x=2,5-\frac{25}{20000}(700+2,5)=1,62$$

Для случая б)

$$\upsilon_1 M=-m(\upsilon_2-\upsilon_1)+M\upsilon_x$$

$$\upsilon_x=\upsilon_1+\frac{m}{M}(\upsilon_2-\upsilon_1)$$

$$\upsilon_x=2,5+\frac{25}{20000}(700-2,5)=3,37$$

Ответ: при выстреле по движению скорость платформы 1,62 м/с, а при выстреле против 3,37 м/с.

Задача 5.8.

Определить время $t_x$ падения тела массы $М$, если на половине пути в него попала горизонтально летящая пуля массы $m$. Время свободного падения тела с той же высоты равно $t_0$. Рассмотреть также случай $М<m$.

Решение. К моменту попадания пули тело приобретет скорость

$$mg\cdot \frac{H}{2}=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$\upsilon=\sqrt{gH}$$

Если время свободного падения тела с той же высоты равно $t_0$, то

$$\frac{gt_0^2}{2}=H$$

И

$$\upsilon=\sqrt{\frac{g^2t_0^2}{2}}=\frac{gt_0}{\sqrt{2}}$$

Теперь найдем время прохождения первой половины пути:

$$\frac{H}{2}=\frac{gt_1^2}{2}$$

$$t_1=\sqrt{\frac{H}{g}}$$

Итак, тело имеет скорость $\upsilon$ и тут в него попадает пуля, по закону сохранения импульса

$$M\upsilon=(M+m)\upsilon_y$$

$$\upsilon_y=\frac{M}{M+m}\upsilon=\frac{M}{M+m}\cdot \frac{gt_0}{\sqrt{2}}$$

Теперь рассмотрим вторую половину пути. Для нее начальной скоростью будет $\upsilon_y$:

$$\frac{H}{2}=\upsilon_y t_2+\frac{gt_2^2}{2}$$

$$D=\upsilon_y^2+gH$$

$$t_2=\frac{-\upsilon_y+\sqrt{\upsilon_y^2+gH }}{g}$$

$$t_2=\upsilon_y \frac{\sqrt{1+\frac{gH}{\upsilon_y^2} }-1}{g}$$

Теперь подставим найденное ранее значение $\upsilon_y$:

$$t_2=\frac{M}{M+m}\cdot \frac{t_0}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1+\frac{(m+M)^2}{M^2} }-1\right)$$

Если внести дробь $\frac{M}{M+m}$ в скобку, получим следующее:

$$t_2=\frac{t_0}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{M^2+(m+M)^2}-M}{m+M}$$

Полное время падения

$$t=t_1+t_2=\frac{t_0}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{M^2+(m+M)^2}+m}{m+M}$$

Ответ: $t=\frac{t_0}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{M^2+(m+M)^2}+m}{m+M}$.