Задачник Добродеева, сохранение импульса - 1

Задача 5.1.

Определить величину изменения импульса $\mid \Delta p \mid$ шарика массы $m = 50$ г, движущегося со скоростью $\upsilon = 2$ м/с, при упругом ударе о неподвижную плоскость, составляющую с вектором скорости угол $\alpha$, равный: a) $60^{\circ}$; б) $90^{\circ}$.

Решение. Сначала – случай б). При упругом ударе скорость сохранит свое значение, но изменит направление на противоположное. Поэтому

$$\vec{\Delta p}=m(\vec{\upsilon_2}-\vec{\upsilon_1})$$

$$\Delta p=2m\upsilon_1=2\cdot 0,05\cdot 2=0,2$$

При движении под углом к плоскости составляющая скорости, направленная перпендикулярно ей, равна

$$\upsilon_{\perp}=\upsilon \cdot \sin \alpha$$

Тогда

$$\Delta p=2m\upsilon_1\cdot \sin \alpha =2\cdot 0,05\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=0,173$$

Ответ: а) 0,173 кг$\cdot$м/с; б) 0,2 кг$\cdot$м/с.

Задача 5.2.

При движении тела массой m = 1 кг вблизи поверхности Земли между точками траектории А и В величина изменения импульса тела $\mid \Delta p \mid=20$ Н$\cdot $с . Найти время $t_x$ полета между точками А и В. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Я так поняла, что летим вертикально. Тогда $t_x=2$. Действительно,

$$\mid \Delta p \mid=m\Delta \upsilon$$

$$\Delta \upsilon=20=gt_x$$

Ответ: 2 с.

Задача 5.3.

Шарик массой $m = 10$ г падает на горизонтальную плоскость с высоты $h_1 = 27$ см. Найти среднюю силу удара $F$ в следующих случаях: а) удар шарика о плоскость абсолютно неупругий; б) удар абсолютно упругий; в) после удара шарик поднимается на высоту $h_2 = 12$ см. Во всех случаях длительность удара $\tau = 0,03$ с.

Решение. Определим скорость шарика при подлете к плоскости:

$$mgh=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$\upsilon=\sqrt{2gh}=\sqrt{20\cdot 0,27}=2,32$$

При абсолютно неупругом ударе шарик изменит свой импульс на $m\upsilon$, то есть

$$\Delta p=m\upsilon=F_1\tau$$

$$F_1=\frac{ m\upsilon }{\tau }=\frac{0,01\cdot 2,32}{0,03}=0,77$$

При абсолютно упругом ударе шарик изменит свой импульс на $2m\upsilon$, то есть

$$\Delta p=2m\upsilon=F_2\tau$$

$$F_2=\frac{ 2m\upsilon }{\tau }=\frac{2\cdot 0,01\cdot 2,32}{0,03}=1,55$$

Если шарик поднялся на высоту 12 см, то скорость при отскоке

$$mgh_1=\frac{m\upsilon_1^2}{2}$$

$$\upsilon_1=\sqrt{2gh_1}=\sqrt{20\cdot 0,12}=1,55$$

Тогда

$$\vec{\Delta p}=m(\vec{\upsilon_1}-\vec{\upsilon})=\vec{F_3}\tau$$

$$\mid \Delta p\mid =m(\upsilon_1+\upsilon)=F_3\tau$$

$$F_3=\frac{m\upsilon_1+\upsilon}{\tau}=\frac{0,01\cdot(2,32+1,55)}{0,03}=1,29$$

Ответ: $F_1=0,77$ Н, $F_2=1,55$ Н, $F_3=1,29$ Н.

Задача 5.4.

Поезд массой $m = 2000$ т, двигаясь прямолинейно, увеличил скорость с $\upsilon_1 = 36$ км/ч до $\upsilon_2 = 72$ км/ч. Найти величину изменения импульса $\mid \Delta p \mid$.

Решение.

$$\Delta p=m\Delta\upsilon=2000000\cdot (20-10)=2\cdot 10^7$$

Ответ: $\Delta p=2\cdot 10^7$ кг$\cdot$м/с.