Три муфты

Задача.

Три муфты $A,B$ и $C$, массы которых равны $2m$, $3m$ и $m$ соответственно, могут скользить без трения по двум горизонтальным направляющим, пересекающимся под прямым углом.

Рисунок к задаче

Муфты $A$ и $B$ с помощью шарниров соединены с легким жестким неупругим стержнем так, что угол между стержнем и направляющей, на которой надета муфта $B$, равен $\alpha$. Между муфтой $C$, движущейся со скоростью $\upsilon$, и покоящейся муфтой $A$ происходит неупругое столкновение. Определите скорости муфт сразу после соударения.

Решение. При столкновении муфт $A$ и $C$ на них действуют по третьему закону Ньютона одни и те же силы. Это внутренние силы, не меняющие общего импульса. На муфту $A$ со стороны стержня действует сила реакции, направленная вдоль стержня - $N_1$. На муфту $B$, аналогично, действует сила реакции $N_2$, и $N_1=N_2$.

Введем координатные оси, $x$ - традиционно, а $y$ - вниз, так как муфта $C$ движется вниз и это удобно.

Ввели оси координат и обозначили углы

Используем следующие соотношения:

$$\Delta \vec{p}=\vec{F} t$$

$$\Delta p_x=F_x t$$

$$\Delta p_y=F_y t$$

Для системы тел $A-C$:

$$\Delta p_y=p_y-p_{0y}=(m+2m)\upsilon_A-m\upsilon$$

Здесь $ m\upsilon$ - импульс системы до удара, $(m+2m)\upsilon_A$ - импульс системы после удара.

С другой стороны,

$$\Delta p_y=Ft$$

Где $F=N_{1y}$, $N_{1y}=-N_1\sin \alpha$.

Тогда:

$$-N_1 t \sin \alpha=3m\upsilon_A-m\upsilon$$

Рассмотрим муфту $B$. Её пихнули. Поэтому ее импульс не сохраняется по оси $x$ - был нулевой, а стал $3m\upsilon_B$ (если система состоит из одной муфты $B$).

$$\Delta p_x=p_x-p_{0x}=3m\upsilon_B-0$$

Проекция внешней силы $N_2$, умноженная на время – тоже изменение импульса муфты $B$:

$$\Delta p_x=N_2\cos\alpha t$$

Левые части двух последних равенств одинаковые, значит, и правые тоже:

$$3m\upsilon_B= N_2\cos\alpha t $$

Так как $N_1=N_2=N$, то имеем систему:

$$-N t \sin \alpha=3m\upsilon_A-m\upsilon$$

$$N t \cos\alpha =3m\upsilon_B$$

Между шайбами $A$ и $B$ одно и то же расстояние – стержень-то жесткий. Поэтому движение шайбы $A$ можно рассматривать как движение по окружности относительно $B$.

Треугольник скоростей

$$\vec{V}=\vec{\upsilon_B}

Из треугольника скоростей

$$operatorname{tg}alpha=frac{upsilon_B}{upsilon_A}$$

$$upsilon_B=upsilon_Aoperatorname{tg}alpha$$

Добавляем это уравнение к системе, тогда второе уравнение будет выглядеть так:

$$Nt=frac{3mupsilon_B}{cosalpha }$$

$$Nt=frac{3mupsilon_A operatorname{tg}alpha }{cosalpha }$$

Подставляем в первое:

$$-frac{3mupsilon_A operatorname{tg}alpha }{cosalpha }cdot sinalpha=3mupsilon_A-mupsilon$$

Преобразуем:

$$-3upsilon_A operatorname{tg}^2alpha=3upsilon_A-upsilon$$

$$upsilon=3upsilon_A+3upsilon_A operatorname{tg}^2alpha$$

$$upsilon=3upsilon_Aleft(1+operatorname{tg}^2alpha right)$$

$$upsilon=3upsilon_Acdot frac{1}{cos^2alpha}$$

$$upsilon_A=frac{upsilon }{3}cos^2alpha$$

$$upsilon_B=upsilon_Aoperatorname{tg}alpha=frac{upsilon }{3}cos^2alphaoperatorname{tg}alpha=frac{upsilon }{3}cosalpha sin alpha=frac{upsilon }{6}sin 2alpha$$

Ответ: $\upsilon_A=\frac{\upsilon }{3}\cos^2\alpha$, $\upsilon_B=\frac{\upsilon }{6}\sin 2\alpha$.