Импульс системы тел 4

Задача 1. На краю стола высотой $h$ лежит маленький шарик массой $m_1$. В него попадает пуля массой $m_2$, движущаяся горизонтально со скоростью $\upsilon$, направленной в центр шарика. Пуля застревает в нем. На каком расстоянии от стола по горизонтали упадет шарик на землю?

---

 

Запишем закон сохранения импульса:

$$m_2\upsilon=(m_1+m_2)u$$

Тогда скорость шарика с пулей равна

$$u=\frac{ m_2\upsilon }{m_1+m_2}$$

Приобретя такую горизонтально направленную скорость, шарик соскальзывает со стола и начинает падать. Время его падения определяется только высотой стола и не зависит ни  от его массы, ни от скорости. Так как вертикальной составляющей скорость шарика не имеет, то для свободного падения запишем:

$$\frac{gt^2}{2}=h$$

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

За это время, пока шарик будет падать, он пролетит по горизонтали расстояние, равное

$$S=ut=\frac{ m_2\upsilon }{m_1+m_2}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

 

Задача 2. Ящик с песком, имеющий массу $M$, подвешен на тросе длиной $l$. Длина троса значительно больше линейных размеров ящика. Пуля, масса которой $m$, летит в горизонтальном направлении и попадает в ящик, застревая в нем. Трос после попадания пули отклоняется от вертикали на угол $\alpha$.  Определите скорость пули.

---

 

Запишем закон сохранения импульса:

$$m\upsilon=(m+M)u$$

Тогда скорость ящика с пулей равна

$$u=\frac{ m\upsilon }{m+M}$$

Ящик, таким образом, приобретает кинетическую энергию, равную $\frac{(M+m)u^2}{2}$.

Эта энергия переходит в потенциальную, когда ящик достигает наивысшего положения:

$$\frac{(M+m)u^2}{2}=(M+m)gh$$

$$u^2=2gh$$

$$u=\sqrt{2gh}$$

Теперь осталось разобраться, на какую же высоту все-таки поднимется наш ящик. Для этого рассмотрим картинку. Из нее видно, что $h=l-b$, а $b$ - катет прямоугольного треугольника с острым углом $\alpha$ и гипотенузой $l$. Тогда $b=l\cos{\alpha}$

$$h=l-l\cos{\alpha}$$

Подставляем в формулу скорости ящика:

$$u=\sqrt{2gl(1-\cos{\alpha})}$$

Осталось определить скорость пули:

$$u=\frac{ m\upsilon }{m+M}=\sqrt{2gl(1-\cos{\alpha})}$$

$$\upsilon =\frac{ m+M }{m}\sqrt{2gl(1-\cos{\alpha})}$$

 

Задача 3. С высоты $H$ падает шар. Когда он пролетал мимо окна, находящегося на высоте $\frac{H}{2}$, в него попала пуля, вылетевшая из ружья в горизонтальном направлении. Пуля застряла в центре шара. С какой скоростью шар упадет на землю? Пуля имеет массу, в 10 раз меньшую, чем масса шара. Ее скорость в момент попадания в шар равна $\upsilon$.

---

 

Запишем закон сохранения импульса:

$$m\upsilon=(m+M)u$$

$$m\upsilon=11mu$$

$$u=\frac{\upsilon}{11}$$

Эта скорость направлена горизонтально. Также, падая, шар набирает вертикальную составляющую скорости, которая, кстати, совершенно не зависит от того, на какой высоте в шар попала пуля. С равным успехом пуля могла бы попасть в шар и в начале его полета, и в середине, и в конце, и во всех трех случаях конечная скорость шара вычислялась бы по теореме Пифагора и равнялась бы одной и той же величине.

Падая с высоты $H$, шар приобретет вертикальную составляющую скорости, равную

$$\upsilon_{vert}=\sqrt{2gH}$$

Тогда шар упадет со скоростью

$$\upsilon_{pad}=\sqrt{u^2+{\upsilon_{vert}}^2}=\sqrt{\frac{\upsilon^2}{121}+2gH}$$

$$\upsilon_{pad}=\sqrt{\frac{\upsilon^2+242gH}{121}}=\frac {\sqrt {\upsilon^2+242gH}}{11}$$

 

Задача 4. Снаряд, выпущенный из пушки, установленной под углом $\alpha=45^{\circ}$ к горизонту на плоской горизонтальной равнине, разрывается в верхней точке своей траектории на два осколка одинаковой массы. Первый осколок падает прямо под точкой разрыва снаряда спустя 20 с после разрыва. На каком расстоянии упадет второй осколок, если разрыв произошел на высоте 2 км? Сопротивлением воздуха пренебречь.

---

 

Раз известна высота разрыва снаряда, значит, во-первых, мы можем определить скорость, с которой был выпущен снаряд (ведь пока нам известен только угол), и еще мы можем ответить на вопрос,  какой начальной скоростью обладал тот осколок, который упал под местом разрыва.

Определяем начальную скорость выпущенного снаряда.

Вертикальная составляющая его скорости равна $\upsilon \sin{\alpha}$, и, так как снаряд поднялся в наивысшую точку, значит, эта составляющая убыла до нуля:

$$\upsilon \sin{\alpha}-gt=0$$

Откуда время полета снаряда до наивысшей точки:

$$t=\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}$$

За это время снаряд пролетел по вертикали расстояние 2000 м, которое также можно определить по формуле:

$$\upsilon \sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}=2000$$

Теперь есть возможность найти скорость снаряда при вылете из пушки $\upsilon$. Подставим в предыдущую формулу $t$:

$$\upsilon \sin{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}-\frac{{\upsilon \sin{\alpha}}^2}{2g}=2000$$

$$\frac{\upsilon^2 \sin{\alpha}^2}{2g}=2000$$

$$\upsilon^2 =80000$$

$$\upsilon=\sqrt{80000}$$

Определим, какую начальную скорость при разрыве снаряда приобрел осколок, который упал вертикально вниз. Он падал известное нам время – 20 с. Если он обладал начальной скоростью $\upsilon_0$, найдем ее:

$$\upsilon_0t+\frac{gt^2}{2}=2000$$

Подставляем время:

$$20\upsilon_0+\frac{400g}{2}=2000$$

$$20\upsilon_0=0$$

Итак, этот осколок падал свободно, без начальной скорости.

Теперь можем записать закон сохранения импульса для этой системы: импульс снаряда в точке разрыва равен сумме импульсов кусков. В этой точке снаряд уже не обладал вертикальной составляющей скорости, а только горизонтальной: $\upsilon \cos{\alpha}$. Тогда:

$$ m \upsilon \cos{\alpha}=\frac{m}{2}\cdot 0 +\frac{m}{2} u$$

$$ u=2 \upsilon \cos{\alpha}$$

Наконец, можем определить как далеко с такой скоростью наш осколок улетит. Его полет по горизонтали происходит с постоянной найденной нами скоростью $u$, а продолжается такое же время $t$, какое понадобилось снаряду до разрыва, чтобы достигнуть высшей точки: $t=\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}$

Тогда он пролетит расстояние, равное:

$$S=ut=2 \upsilon \cos{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{g}$$

$$S=\frac{\upsilon^2}{g}=\frac{80000}{10}=8000$$

Ответ: 8000 м от точки разрыва.

Задача 5. Снаряд, выпущенный  под углом $\alpha=45^{\circ}$ к горизонту из пушки, установленной на плоской горизонтальной равнине, разрывается в верхней точке своей траектории на два осколка одинаковой массы. Первый осколок падает спустя $t_0=15$ с прямо под точкой разрыва. На каком расстоянии от пушки упадет второй осколок, если разрыв снаряда произошел через 15 с после выстрела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

---

 

Как и в предыдущей задаче, нам неизвестно, с какой скоростью был выпущен снаряд, и какой начальной скоростью обладали осколки. Но нам известно, что снаряд достиг наивысшей точки своего полета, и произошло это за 15 с.

Определяем начальную скорость выпущенного снаряда.

Вертикальная составляющая его скорости равна $\upsilon \sin{\alpha}$, и, так как снаряд поднялся в наивысшую точку, значит, эта составляющая убыла до нуля:

$$\upsilon \sin{\alpha}-gt=0$$

Откуда время полета снаряда до наивысшей точки:

$$t=\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}=15$$

$$\upsilon =\frac{15g}{\sin{\alpha}}=150\sqrt{2}$$

Горизонтальная составляющая скорости снаряда равна:

$$\upsilon \cos{\alpha}=150$$

От пушки до точки разрыва расстояние будет равно:

$$S_1=\upsilon \cos{\alpha}t=2250$$

Определим расстояние, которое снаряд пролетел по вертикали до точки разрыва, по формуле:

$$h=\upsilon \sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}=150\cdot 15-\frac{10\cdot15^2}{2}=1125$$

Теперь определим начальную скорость $\upsilon_0$ осколка, упавшего вертикально вниз:

$$\upsilon_0t_0+\frac{gt_0^2}{2}=1125$$

Подставляем известное время:

$$15\upsilon_0+\frac{225g}{2}=1125$$

$$15\upsilon_0=0$$

$$\upsilon_0=0$$

Величину скорости второго осколка найдем из закона сохранения импульса:

$$\vec{m \upsilon \cos{\alpha}}=\vec{\frac{m}{2} u}$$

$$u=2\upsilon \cos{\alpha}=300$$

Осталось посчитать, на какое расстояние улетит осколок по горизонтали, пока будет падать с высоты, равной $h$ метров.

Он будет падать время, равное 15 секундам:

$$t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{225}=15$$

За это время он улетит по горизонтали на расстояние $S_1$, равное

$$S_2= u t_1=300\cdot 15=4500$$

Итак, «собираем» расстояния.

$$L=S_1+S_2=2250+4500=6750$$

Ответ: от места выстрела осколок улетит на 6,8 км, а от места разрыва снаряда на 4,5 км.

 

Задача 6. Ракета, поднимающаяся вертикально вверх со скоростью $\upsilon=100$ м/с, разрывается на три части. Две части по 0,5 кг каждая разлетаются горизонтально – одна на восток, другая на запад.  Чему равна скорость третьей части, масса которой равна 1 кг?

---

Так как два осколка разлетаются в противоположные стороны, их массы и скорости равны, то суммарный их импульс равен $0$. Поэтому импульс ракеты весь будет передан последнему, третьему осколку массой 1 кг.

$$ m \upsilon =\frac{m}{2}u$$

$$ u=2 \upsilon =200$$