Задача, предложенная Григорием Иосифовичем Левиевым

Задача. Можно ли подобрать силу так, чтобы груз $m_1$ был неподвижен относительно тележки?  Трения нет.

Тележка и груз на подвижном шарнире

Когда тележка находится в движении, нить с грузом $m_2$  отклоняется от вертикали, и груз смещается по инерции в сторону, противоположную движению тележки, как показано на рисунке. Очевидно, что тележка движется вправо, в ту сторону, куда подталкивает ее сила $F$. Блок является невесомым, он укреплен на рычаге, который вращается в шарнире.

В целом для всей системы можем записать:

$$F=(M+m_1+m_2)a$$

На груз $m_1$ действует сила натяжения нити $T$, которая по второму закону Ньютона равна:

$$T=m_1 a$$

С другой стороны, она может быть разложена на две составляющие, показанные на рисунке:

$$\vec{m_2 a}=\vec{T}+\vec{m_2 g}$$

$$T^2=(m_2 g)^2+(m_2 a)^2$$

$$(m_1 a)^2=(m_2 g)^2+(m_2 a)^2$$

$$(m_1 a)^2-(m_2 a)^2=(m_2 g)^2$$

$$({m_1}^2-{m_2}^2)a^2=(m_2 g)^2$$

$$a=\frac{m_2 g}{\sqrt{{m_1}^2-{m_2}^2}}$$

Тогда необходимая сила:

$$F=(M+m_1+m_2)a=(M+m_1+m_2)\frac{m_2 g}{\sqrt{{m_1}^2-{m_2}^2}}$$

Ответ: $$F=(M+m_1+m_2)\frac{m_2 g}{\sqrt{{m_1}^2-{m_2}^2}}$$