Задача о трех шариках и их ускорениях

Задача попалась в беседе учителей физики в ВК, и как-то неожиданно легко решилась.

Задача. Два небольших шарика с одинаковыми массами $m$ и зарядами $q$ соединены нерастяжимым легким стержнем длины $l$. Эти шарики подвешены на двух нитях длиной $l$ к третьему шарику с зарядом $q$, как показано на рисунке. Найти ускорения шариков $A$ и $B$ непосредственно после пережигания нити $AC$.

Рисунок к задаче

Решение. Расставим все силы. При этом заметим, что нити и стержень образуют правильный треугольник. Поэтому все силы Кулона, действующие на шарики, равны. Я расставила силы на правый шарик, на левой стороне все симметрично.

Расставим силы на правый шарик

Направим оси традиционно и запишем уравнения по второму закону Ньютона:

$$Ox: N+F_q+F_q\cos 60^{\circ}-T\cos 60^{\circ}=0$$

$$Oy: T\sin 60^{\circ}=mg+F_q\cos 30^{\circ}$$

Из второго уравнения

$$T=\frac{ mg }{\sin 60^{\circ}}+\frac{ F_q\cos 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{ mg }{\sin 60^{\circ}}+F_q$$

Из первого:

$$N= T\sin 30^{\circ}- F_q-F_q\cos 60^{\circ}$$

Подставим $T$:

$$ N= \frac{ mg }{\sin 60^{\circ}}\sin 30^{\circ}+F_q\sin 30^{\circ}- F_q-F_q\cos 60^{\circ}=mg\operatorname{tg} 30^{\circ}- F_q $$

Теперь можем искать составляющие ускорения шарика слева, так как теперь нам известны все силы. Шарик был в равновесии и ускорение получит только из-за обрыва нити:

Сила натяжения нити исчезла с ее обрывом

$$ma_{1x}=N+F_q\cos 60^{\circ}+F_q$$

$$ma_{1y}=mg+F_q\cos 30^{\circ}$$

$$ a_{1x}= g\operatorname{tg} 30^{\circ}-\frac{F_q}{m}+ \frac{F_q\cos 60^{\circ}+F_q}{m}$$

$$ a_{1x}= g\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{kq^2}{2l^2m}$$

$$a_{1y}=g+\frac{kq^2}{l^2m}\cos 30^{\circ}$$

Теперь можно определить полное ускорение шарика слева:

$$a=\sqrt{ a_{1x}^2+ a_{1y}^2}=\sqrt{\left(g\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{kq^2}{2l^2m}\right)^2+\left(g+\frac{kq^2}{l^2m}\cos 30^{\circ}\right)^2}=\sqrt{\frac{4}{3}g^2+\frac{4\sqrt{3}kq^2g}{3l^2m}+\frac{k^2q^4}{m^2l^4}}$$

Для правого шарика ничего не изменилось – нить не рвалась и он по-прежнему в равновесии. Его ускорение равно нулю.

Ответ: $a=\sqrt{\frac{4}{3}g^2+\frac{4\sqrt{3}kq^2g}{3l^2m}+\frac{k^2q^4}{m^2l^4}}$.