Задачник Добродеева, динамика движения по кругу - 2

Задача 4.5.

Самолет совершает поворот, двигаясь по дуге окружности с постоянной скоростью $\upsilon = 360$ км/ч. Определить радиус $R$ этой окружности, если плоскость крыльев повернулась вокруг направления полета на угол $\alpha = 10^{\circ}$.

Решение. Когда самолет летит горизонтально, подъемная сила направлена вверх и компенсирует силу тяжести. Когда он поворачивает, подъемная сила направлена перпендикулярно корпусу. Вертикально вверх будет направлена составляющая подъемной силы $F_{pod}\cos 10$, а вот вторая составляющая будет равна $ma_n$:

$$ma_n= F_{pod}\sin 10$$

То есть

$$a_n=g\sin 10^{\circ}$$

$$R=\frac{\upsilon^2}{ g\sin 10^{\circ}}=5759$$

Можно решить и так:

$$\frac{ma_n}{N}=\sin \alpha$$

$$\frac{mg}{N}=\cos \alpha$$

$$\frac{ma_n}{\sin \alpha}=\frac{mg}{\cos \alpha}$$

$$a_n=g\operatorname{tg}\alpha$$

$$R=\frac{\upsilon^2}{ g\operatorname{tg}\alpha}=5759$$

Синус и тангенс угла в 10 градусов близки по значению.

Ответ: $R=5759$ м.

Задача 4.6.

К краю диска радиуса $R = 10$ см прикреплен шарик на нити длиной $L = 6$ см. При вращении диска в горизонтальной плоскости нить отклоняется от вертикали на угол $\alpha = 45^{\circ}$. Определить угловую скорость $\omega$ диска.

Решение. Напишем уравнение по второму закону Ньютона:

$$ma_n=T\sin \alpha$$

$$mg=T\cos \alpha$$

Разделим уравнения:

$$\frac{a_n}{g}=\operatorname{tg}\alpha$$

$$\frac{\omega^2R}{g}=\operatorname{tg}\alpha$$

$$\omega=\sqrt{\frac{g\operatorname{tg}\alpha }{R}}=8,4$$

Ответ: 8,4 рад/с

Задача 4.7.

Груз массы $m = 100$ г, подвешенный на нити длиной $L=1$ м, отклонили от положения равновесия на некоторый угол и отпустили. Найти натяжение $Т$ нити в тот момент, когда груз будет иметь скорость $\upsilon = 3,1$ м/с, а угол отклонения от вертикали $\alpha = 60^{\circ}$.

Решение. Когда нить отклонена на $60^{\circ}$, груз находится на высоте $\frac{L}{2}$.

Записываем второй закон Ньютона для указанного положения шарика в проекциях на радиальную ось:

$$ma_n=T-mg\cos \alpha$$

$$T=\frac{m\upsilon^2}{L}+ mg\cos \alpha$$

$$T=\frac{0,1\cdot 3,1^2}{1}+ 0,5=1,461$$

Ответ: 1,46 Н.

Задача 4.8.

Шарик, подвешенный на нити длиной $L =14$ см, движется по окружности в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\omega = 18,8$ рад/с. На какой угол $\alpha$  от вертикали при этом отклоняется нить?

Решение.

$$ma_n=T\sin \alpha$$

$$mg=T\cos \alpha$$

Разделим уравнения:

$$\frac{\omega^2R}{g}\operatorname{tg}\alpha$$

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\omega^2 R}{g}=\frac{\omega^2L\sin \alpha}{g}$$

$$\alpha=78^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=78^{\circ}$