Задача с обезьяной и похожая...

Задача 1.

На штанге укреплен невесомый неподвижный блок, через который перекинута нить с двумя грузами, массы которых $m_1=500$ г и $m_2=100$ г.  В грузе $m_2$ имеется отверстие, через которое проходит штанга. Сила трения груза $m_2$ о штангу постоянна и равна $F_{tr}=3$ Н. Найти ускорение $a$ грузов и натяжение $T$ нити.

Рисунок к задаче 1

Решение. Запишем уравнения по второму закону Ньютона для обоих грузов.

Для первого груза оно совсем простое:

$$m_1a=m_1g-T$$

Так как понятно, что этот груз тяжелее, все поедет в левую сторону.

Для груза $m_2$:

$$m_2a=T-m_2g-F_{tr}$$

Складываем уравнения:

$$(m_1+m_2)a=(m_1-m_2)g- F_{tr}$$

Или

$$0,6a=0,4g-3$$

$$a=\frac{1}{0,6}=\frac{5}{3}$$

Определяем силу натяжения нити:

$$T=m_1(g-a)=0,5\left(10-\frac{5}{3}\right)=\frac{25}{6}$$

Ответ: $a=\frac{5}{3}$ м/с, $T=\frac{25}{6}$ Н.

Задача 2.

К одному концу веревки, перекинутой через блок, прикрепили груз массой m = 4,0 кг. По другому концу пытается влезть вверх обезьяна массой М = 5,0 кг. Однако ей это не удается, и из-за проворачивания блока и подъема груза она все время остается на одной и той же высоте. Пренебрегая массами веревки и блока, а также трением в оси блока, определите ускорение груза. Сравните это ускорение с тем, которое приобрел бы груз в том случае, если бы обезьяна висела на веревке неподвижно.

Рисунок к задаче 2

Решение. В силу невесомости веревки сила натяжения $T$ в любом ее сечении одна и та же. На обезьяну действуют сила натяжения веревки $T$ - вверх, сила тяжести $Mg$ - вниз. Под действием этих сил обезьяна должна покоиться относительно земли, т. е. для нее уравнение по второму закону Ньютона

$$T−Mg=0$$

На груз действуют силы: $T$ - вверх и $mg$ - вниз, в результате чего груз движется относительно земли вверх с ускорением $a$:

$$T−mg=ma$$

Вычтем уравнения:

$$Mg-mg=ma$$

$$ma=g(M−m)$$

$$a=g\left(\frac{M}{m}-1\right)$$

Нерастяжимость веревки означает, что она движется относительно земли с таким же ускорением

$$a=g(\frac{5}{4}-1)=2,5$$

Следовательно, ускорение веревки и относительно обезьяны равно 2,5 м/с$^2$, с таким ускорением обезьяна должна двигаться относительно веревки.

Если обезьяна висит «мертвым грузом», то система начнет движение влево (обезьяна тяжелее).

$$Ma=Mg-T_1$$

$$ma=T_1-mg$$

Складываем:

$$a(m+M)=Mg-mg$$

$$a=\frac{M-m}{M+m}g=\frac{1}{9}g$$

Последнее ускорение меньше, всего $\frac{1}{9}g$, тогда как с обезьяной в движении - $\frac{1}{4}g$.