Трубки с жидкостью - 1

Запишем второй закон Ньютона для массы ртути в горизонтальном колене. Сила давления столба ртути в вертикальном колене равна $S(p_0+\rho g H)$, тогда второй закон выглядит так:

$$ma_0= S(p_0+\rho g H)$$

Отсюда можно найти ускорение:

$$a_0=\frac{ S(p_0+\rho g H)}{m}=\frac{ S(p_0+\rho g H)}{\rho L S}=\frac{ p_0+\rho g H}{\rho L }$$

Теперь определим давление в середине горизонтального колена. Для этого запишем второй закон Ньютона для левой половинки горизонтального столбика ртути. Слева на него давит атмосфера и вертикальный столбик, справа  на него давит правая половинка горизонтального столба. Разность указанных сил давления равна $\frac{m}{2}a_0$:

$$\frac{m}{2}a_0= S(p_0+\rho g H)-pS$$

Делим на площадь $S$

$$p= p_0+\rho g H-\frac{m a_0}{2S}$$

Подставляем массу:

$$p= p_0+\rho g H-\frac{\rho L a_0}{2}$$

Подставляем найденное ранее ускорение:

$$p= p_0+\rho g H-\frac{ p_0+\rho g H }{2}=\frac{ p_0+\rho g H }{2}=370+\frac{13600\cdot9,8\cdot0,1}{2\cdot133}=420,1$$

Теперь определим, сколько выльется ртути.

Для этого снова составим второй закон Ньютона для горизонтального столбика. Когда ртуть начнет выливаться, вертикальный столбик будет оставаться таким же по высоте, а вот горизонтальный укоротится. Поэтому при составлении второго закона мы учтем, чт о масса горизонтального столба теперь другая:

$$m_1\cdot \frac {5a_0}{4} = S(p_0+\rho g H)$$

$$m_1=\rho L_1 S$$

$$m_1=\frac{ S(p_0+\rho g H)}{ \frac {5a_0}{4}}=\frac{ 4S(p_0+\rho g H)}{5a_0}=\frac{ 4S\rho L(p_0+\rho g H)}{5(p_0+\rho g H )}= \frac{ 4S\rho L}{5}$$

Тогда

$$\rho L_1 S=\frac{ 4S\rho L}{5}$$

Делим на сечение и плотность ртути:

$$L_1=\frac{ 4L}{5}$$

То есть длина  столбика  стала равной $0,8L$, значит, вылилось $0,2L$, или 30 см.

Ответ: давление в середине горизонтального столба при движении с ускорением $a_0$ 420 мм. рт. ст., при движении с новым ускорением выльется 30 см.

Когда мы начнем двигать трубку с ускорением вправо, то в правом колене вода опустится, а в левом – поднимется до краев. Составим уравнение по второму закону Ньютона для горизонтального столбика воды. Слева на него давит  столб воды высотой $h+H$, а справа – столб высотой $h-H$. Тогда

$$ma_0=\rho g (h+H)S-\rho g (h-H)S$$

Откуда

$$a_0=\frac{2\rho g H S}{m}=\frac{2\rho g H S}{\rho L S}=\frac{2g H}{L}$$

Новое ускорение будет равно $a=\frac{4}{3}\cdot\frac{2g H}{L}=\frac{8g H}{3L}$.

Чтобы определить, сколько выльется воды, снова составим второй закон, только учтем, что высота левого столбика воды по-прежнему равна $h+H$, а справа теперь столб высотой $h-H-L_v$, где $L_v$ - длина вылившегося столбика.

$$ma=\rho g (h+H)S-\rho g (h-H-L_v)S$$

$$ma=\rho g S (2H+L_v)$$

Подставляем массу горизонтального столба и новое ускорение:

$$\rho L S\frac{8g H}{3L}=\rho g S (2H+L_v)$$

Отсюда

$$\frac{8 H}{3}=2H+L_v$$

$$L_v=\frac{2H}{3}$$

Ответ: $a_0=\frac{2g H}{L}$, $L_v=\frac{2H}{3}$.

Запишем второй закон Ньютона для массы ртути в горизонтальном колене. Сила давления столба ртути в вертикальном колене равна $S(p_0+\rho g H)$, тогда второй закон выглядит так:

$$ma_0= S(p_0+\rho g H)$$

$$\rho L S a_0= S(p_0+\rho g H)$$

Отсюда можно найти длину горизонтального колена $L$:

$$L=\frac{ S(p_0+\rho g H)}{ \rho  S a_0}=\frac{ p_0+\rho g H}{\rho\cdot 0,8g}=$$

$$=\frac{ 752\cdot 133+13600\cdot9,8\cdot0,008}{13600\cdot0,8\cdot9,8}=0,95$$

Теперь снова составим второй закон с учетом того, что длина горизонтального столба укоротилась на 0,19 м:

$$m_1a= S(p_0+\rho g H)$$

$$m_1=\rho (L-0,19)S$$

Подставим:

$$\rho (L-0,19)S a= S(p_0+\rho g H)$$

Тогда

$$a=\frac{ p_0+\rho g H }{\rho (L-0,19)}= \frac{ 752\cdot 133+13600\cdot9,8\cdot0,008}{13600 (0,95-0,19)}=9,8$$

Ответ: $L=0,95$ м, $a=g$.

Когда мы начнем двигать трубку с ускорением вправо, то в правом колене вода опустится, а в левом – поднимется до краев. Составим уравнение по второму закону Ньютона для горизонтального столбика воды. Слева на него давит  столб воды высотой $h+H$, а справа – столб высотой $h-H$. Тогда

$$ma_0=\rho g (h+H)S-\rho g (h-H)S$$

Откуда

$$\frac{g}{8}m=2\rho g H S$$

$$H=\frac{m}{16\rho S}=\frac{\rho L S}{16\rho S}=\frac{L}{16}$$

Чтобы определить, сколько выльется воды, снова составим второй закон, только учтем, что высота левого столбика воды по-прежнему равна $h+H$, а справа теперь столб высотой $h-H-L_v$, где $L_v$ - длина вылившегося столбика.

$$ma=\rho g (h+H)S-\rho g (h-H-L_v)S$$

$$ma=\rho g S (2H+L_v)$$

Подставляем массу горизонтального столба и новое ускорение:

$$\rho L S\cdot \frac{g }{6}=\rho g S (2H+L_v)$$

Отсюда

$$\frac{L}{6}=2H+L_v$$

Вместо $H$ подставим $\frac{L}{16}$:

$$L_v=\frac{L}{6}-\frac{L}{8}=\frac{L}{24}$$

Ответ: $H=\frac{L}{16}$, $L_v=\frac{L}{24}$.