Натяжение стержня и каната

Задача 1.

Груз массой $m$ прикреплен к концу однородного каната массой $3m$ и длиной $l$. Другой конец каната прикреплен к вертикальной оси. Груз с канатом вращаются вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью $\omega$, скользя без трения по гладкой горизонтальной поверхности стола. Размер груза мал по сравнению с длиной каната. Найти силу натяжения каната на расстоянии $\frac{l}{3}$ от оси.

Рисунок к задаче 1

Решение. Запишем второй закон Ньютона. Представим канат в виде двух кусков: одна его треть, массой $m$, и две трети плюс груз, массой $3m$. Для большей массы и запишем второй закон Ньютона:

$$3ma_n=T$$

$$3m\cdot \omega^2 R=T$$

Но, так как центр тяжести части массой $3m$ расположен на расстоянии $\frac{7}{9}l$ от оси вращения (покажем это)

$$R=\frac{1}{3}l+\frac{2m\cdot \frac{1}{3}l+m\cdot \frac{2}{3}l}{3m}=\frac{1}{3}l+\frac{4}{9}l=\frac{7}{9}l$$

То

$$T=3m\cdot \omega^2\cdot\frac{7}{9}l=\frac{7m\omega^2l}{3}$$

Ответ: $T=\frac{7m\omega^2l}{3}$.

Задача 2.

Однородный канат массой $m=1$ кг соединен с бруском массой $2m$ легкой нитью, перекинутой через блок. Канат скользит вверх по поверхности горки, наклоненной под углом $\alpha$ ($\cos \alpha = 0,8$). Коэффициент трения скольжения между горкой и канатом $\mu=0,2$. Найти силу натяжения каната в точке (сечении) В. Известно, что $BC=\frac{AC}{4}$

Рисунок к задаче 2

Решение. Запишем уравнения по второму закону Ньютона. Для висящего груза (в проекции на вертикальную ось)

$$2ma=2mg-T$$

Для всего каната (в проекциях на наклонную плоскость):

$$ma=T-mg\sin \alpha-F_{tr}$$

$$ma=T-mg\sin \alpha-\mu N$$

$$ma=T-mg\sin \alpha-\mu mg\cos \alpha$$

Сложим уравнения:

$$2ma+ma=2mg- mg\sin \alpha-\mu mg\cos \alpha$$

Сокращаем массу:

$$3a=2g- g\sin \alpha-\mu g\cos \alpha$$

$$3a=2g-g\cdot0,6-0,2g\cdot 0,8$$

$$3a=1,24g$$

$$a=\frac{1,24}{3}g$$

Для части СВ каната уравнение по второму закону Ньютона в проекциях на ось, параллельную плоскости:

$$\frac{1}{4}ma=T_1- \frac{1}{4}mg\sin \alpha-\frac{1}{4}\mu mg\cos \alpha$$

$$T_1=\frac{1}{4}ma+\frac{1}{4}mg\sin \alpha+\frac{1}{4}\mu mg\cos \alpha=1,033+1,5+0,4=2,933$$

Ответ: сила натяжения каната в сечении $B$ равна $T_1=2,93$ Н.