Движение автомобиля в дуге

Задача 1.

Поверхность центрального пролета арочного моста  - цилиндрическая поверхность с радиусом 200 м и угловым размером $60^{\circ}$ (ось цилиндра горизонтальна). При какой минимальной величине коэффициента трения между шинами небольшого автомобиля и поверхностью моста этот автомобиль может проехать весь пролет с постоянной по величине скоростью 20 м/с, нигде не отрываясь от поверхности? Ответ округлите до сотых.

Решение. Составим уравнения по второму закону Ньютона, глядя на рисунок

$$\frac{m\upsilon^2}{R}=mg\cos \alpha-N$$

$$F_{tr}=mg\sin \alpha$$

$$ F_{tr}\leqslant \mu N$$

Преобразуем:

$$mg\sin \alpha \leqslant \mu N$$

$$N\geqslant \frac{ mg\sin \alpha }{\mu}$$

$$\frac{m\upsilon^2}{R}=mg\cos \alpha-\frac{ mg\sin \alpha }{\mu}$$

$$ \upsilon^2=Rg\cos \alpha-\frac{ Rg\sin \alpha }{\mu}$$

$$ \frac{ Rg\sin \alpha }{\mu}=Rg\cos \alpha-\upsilon^2$$

$$\mu=\frac{ Rg\sin \alpha }{ Rg\cos \alpha-\upsilon^2}$$

Чтобы дробь справа была бы минимальной, нужно, чтобюы ее числитель был минимальным (синус минимален), а знаменатель – как можно больше (косинус побольше). При $\alpha=\alpha_0=\frac{\frac{l}{2}}{R}=30^{\circ}$ значение синуса минимально, а косинуса -  максимально.

$$\mu=\frac{200\cdot 10\cdot 0,5}{200\cdot10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-400}=0,75$$

Ответ: $0,75$.

Задача 2.

Определите полное ускорение автомобиля в конце поворота по дуге радиусом $r=10$ м на угол $90^{\circ}$. Скорость в начале поворота $\upsilon_1=72$ км/ч, в конце поворота $\upsilon_2=36$ км/ч. Считайте тангенциальное ускорение постоянным.

Решение. Определим это тангенциальное ускорение, воспользовавшись формулой без времени:

$$\upsilon_2^2-\upsilon_1^2=2a_{\tau} L$$

Здесь $L$ - длина четверти окружности:

$$L=\frac{\pi r}{2}$$

$$ a_{\tau}=\frac{\upsilon_2^2-\upsilon_1^2}{2L}=\frac{\upsilon_2^2-\upsilon_1^2}{\pi r}=9,55$$

Найдем нормальное ускорение в конце участка:

$$a_n=\frac{\upsilon_2^2}{r}=\frac{100}{10}=10$$

И полное ускорение в конце участка равно:

$$a=\sqrt{ a_{\tau}^2+ a_n^2 }=\sqrt{9,55^2+10^2}=13,8$$

Ответ: полное ускорение 13,8  м/с$^2$.