Две простые задачи для начинающих подготовку к олимпиадам

Задачи, по сути, не олимпиадные. Но начинать с них подготовку хорошо, они не перегружены сложностью, и в то же время есть над чем подумать.

Задача 1.

Материальные точки массами $m_1 = 100$ г и $m_2 = 200$ г соединены невесомым стержнем, как показано на рисунке. К точке $m_2$ прикреплена невесомая пружина жесткостью $k = 30$ Н/м, верхний конец которой закреплен. Длина пружины в недеформированном состоянии $l_0 = 20$ см. В начальный момент концы пружины связаны нитью длиной $l = 10$ см. Определите силу реакции стержня, действующую на массу $m_1$ сразу после пережигания нити.

К задаче 1

Решение. Так как пружина имеет длину 20 см, а нить -10 см, то пружина сжата и будет стремиться распрямиться, когда нить пережгут. То есть в момент, когда силы натяжения нити уже нет – нить пережгли, остались две силы тяжести и сила упругости, равная

$$F=k(l_0-l)$$

и направленная вниз.

Тогда по второму закону

$$(m_1+m_2)a=(m_1+m_2)g+F$$

$$a=g+\frac{ k(l_0-l)}{ m_1+m_2}$$

Теперь рассмотрим груз $m_1$:

$$m_1a=m_1g+T$$

$$m_1(a-g)=T$$

$$m_1\frac{ k(l_0-l)}{ m_1+m_2}=T$$

$$T= 100\frac{ 30(0,2-0,1)}{ 100+200}=1$$

Ответ: 1 Н.

Задача 2.

Лифтер отеля Мариотт, будучи человеком пунктуальным, повесил на стену лифта точные маятниковые часы, чтобы знать, когда кончается рабочий день. Время движения лифта с ускорением, направленным вверх и направленным вниз, одинаково (по неподвижным часам); одинаковы также модули ускорений. Как вы думаете, закончит ли лифтер работу вовремя, переработает или недоработает?

Решение. Период маятника при движении верх

$$T_1\approx \frac{1}{\sqrt{g+a}}$$

Вниз –

$$T_2\approx \frac{1}{\sqrt{g-a}}$$

Маятник будет двигаться вверх время $t_1$ и отсчитает время

$$t’_1=\frac{t_1}{T_1}=t_1\sqrt{g+a}$$

Вниз он будет двигаться время $t_2$ и отсчитает

$$t’_2=\frac{t_2}{T_2}=t_2\sqrt{g-a}$$

Но по условию $t_1=t_2$, тогда часы отсчитают время

$$t’_1+t’_2+t_0= t_1\frac{\sqrt{g+a}}{g}+ t_1\frac{\sqrt{g-a}}{g}+t_0$$

$t_0$ - время движения без ускорения. Неподвижные часы показали бы время $2t_1+t_0$.

Покажем, что

$$\sqrt{g+a}+\sqrt{g-a}<2\sqrt{g}$$

$$\left(\frac{\sqrt{g+a}+\sqrt{g-a}}{2\sqrt{g}}\right)^2=\frac{g+\sqrt{g^2-a^2}}{2g}<1$$

Получается, часы в лифте идут медленнее, поэтому лифтер переработает.