Блоки, нити, грузы и перегрузки

Задача 1.  К телу массой $M = 10$ кг подвешено на веревке тело массой $m= 5$ кг. Масса веревки $m_v = 2$ кг. Вся система движется ускоренно вверх под действием силы $F = 300$ Н, приложенной к верхнему телу (рис.1). Найти натяжение веревки в ее центре $T_1$ и в точках крепления тел $T_m$ и $T_M$.

Представим всю систему единым телом массой $M’=M+m+m_v$. Будем действовать на эту систему с силой $F$. Тогда по второму закону Ньютона

$$M’a=F-M’g$$

Откуда найдем ускорение системы:

$$a=\frac{F}{M’}-g=\frac{300}{10+5+2}-10=7,64$$

Теперь вернемся к первому рисунку и запишем уравнения по второму закону Ньютона для верхнего  и нижнего грузов:

$$Ma=F-Mg-T_M$$

$$ma=-mg+T_m$$

Откуда

$$T_M= F-Mg- Ma=300-100-76,4=123,6$$

$$T_m=ma+mg=5(10+7,6)=88$$

Очевидно, что посередине веревки сила ее натяжения $T_1$ будет средним арифметическим найденных двух сил:

$$T_1=\frac{T_M+T_m}{2}=\frac{123,6+88}{2}=105,8$$

Ответ: $T_M=123,6$ Н, $T_m=88$ Н, $T_1=105,8$ Н.

Задача 2. Маляр массой $M=72$ кг работает в подвесном кресле. Ему понадобилось срочно подняться вверх. Он начинает тянуть веревку с такой силой, что сила давления на кресло уменьшается до $F = 400$ Н. Масса кресла $m =12$ кг. Чему равно ускорение маляра? Чему равна нагрузка на блок?

Расставим силы. Отметим все силы, действующие не маляра, и силы, действующие на люльку:

Теперь можно написать уравнения:

$$Ma=N+T-Mg$$

$$ma=T-mg-N$$

Вычитаем уравнения:

$$(M-m)a=2N+g(m-M)$$

$$a=\frac{2N}{M-m}-g=\frac{800}{60}-10=3,3$$

Ответ: $a=3,3$ м/с$^2$.

Задача 3.

Через легкий неподвижный блок перекинута невесомая нерастяжимая нить с двумя грузами на концах, массы которых $m_1$ и $m_2$, $m_1>m_2$. Система приходит в движение, причем нить не проскальзывает относительно блока. Определить ускорение грузов, силу натяжения нити и силу давления на ось блока.

Понятно, что больший груз перетянет и начнет двигаться вниз, а меньший – подниматься. Запишем для них уравнение по второму закону:

$$m_1a=m_1g-T$$

$$m_2a=T-m_2g$$

Сложим уравнения:

$$(m_1+m_2)a=g(m_1-m_2)$$

Откуда

$$a=\frac{ g(m_1-m_2)}{ m_1+m_2}$$

Теперь можно найти и силу натяжения нити:

$$T=m_2(a+g)=\frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2}$$

Сила давления на блок равна $2T$:

$$2T=\frac{4m_1m_2g}{m_1+m_2}$$

Ответ: $a=\frac{ g(m_1-m_2)}{ m_1+m_2}$, $T=\frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2}$,
$2T=\frac{4m_1m_2g}{m_1+m_2}$.

Задача 4.

Через блок перекинута нить, на концах которой висят два груза с одинаковыми массами $М$ . Одновременно на каждый из грузов кладут по перегрузку: справа  массой $3m$, слева $m$ (рис. 2). Определить ускорение системы, силу натяжения нити и силу давления перегрузков на основные грузы.

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для обоих грузов с учетом массы перегрузков:

$$a(M+3m)=(M+3m)g-T$$

$$a(M+m)= T- (M+m)g$$

Сложение уравнений даст нам

$$2aM+4am=2mg$$

$$a=\frac{2mg}{M+2m}$$

Сила натяжения нити найдется подстановкой найденного ускорения в любое уравнение системы:

$$T=(M+m)(a+g)=\frac{g(m+M)(M+3m)}{M+2m}$$

Определим силу давления меньшего перегрузка массой $m$ на груз $M$:

$$ma=N_1-mg$$

$$N_1=m(a+g)= \frac{gm(M+3m)}{M+2m}$$

Для большего перегрузка

$$3ma=N_2-3mg$$

$$N_2=3m(a+g)= \frac{3gm(M+3m)}{M+2m}$$

Ответ: $a=\frac{2mg}{M+2m}$, $T=\frac{g(m+M)(M+3m)}{M+2m}$, $N_1= \frac{gm(M+3m)}{M+2m}$, $N_2= \frac{3gm(M+3m)}{M+2m}$.

Задача 5.

Через неподвижный блок перекинута нить, к которой подвешены три одинаковых груза массой $m = 5$ кг каждый (рис. 3). Найти ускорение системы и силу натяжения нити между грузами 1 и 2. Какой путь $S$ пройдут грузы за первые $t= 4$ с движения? Трением пренебречь.

Сначала мысленно объединим два груза слева в один и запишем уравнение по второму закону:

$$2ma=2mg-T$$

Для правого грузика

$$ma=T-mg$$

Складываем уравнения:

$$3ma=mg$$

$$a=\frac{g}{3}$$

Определим силу натяжения нити между грузиками. Обозначим ее $T_1$. Тогда для самого нижнего грузика слева:

$$ma=mg-T_1$$

$$T_1=m(g-a)=\frac{2mg}{3}=\frac{100}{3}$$

Определяем путь грузиков за 4 с:

$$S=\frac{at^2}{2}=\frac{10}{3}\cdot\frac{16}{2}=\frac{80}{3}$$

Ответ: $a=\frac{10}{3}$ м/с$^2$, $T_1=\frac{100}{3}$ Н, $S=\frac{80}{3}$ м.

 

Задача 6.

Определить ускорение грузов и силы натяжения всех нитей в системе, изображенной на рисунке. Масса каждого груза $m$, массой блока пренебречь.

Сначала определяем ускорение. Для этого записываем уравнение по второму закону для грузиков справа и слева, пока не вспоминая о том, что их там несколько. Для нас сейчас это  груз массой $2m$  справа и $3m$ слева. Силу натяжения основной нити обозначим $T$:

$$3ma=3mg-T$$

$$2ma=T-2mg$$

Складываем уравнения:

$$5ma=mg$$

$$a=\frac{g}{5}$$

Тогда

$$T=2m(a+g)=\frac{12mg}{5}$$

Рассмотрим теперь грузы, висящие справа. Обозначим натяжение нити между ними $T_1$. Для нижнего груза справа

$$ma=T_1-mg$$

$$T_1=m(a+g)=\frac{6mg}{5}$$

Осталось определить $T_2$ и $T_3$. Для верхнего грузика слева

$$ma=T_2-T+mg$$

Откуда

$$T_2=T+m(a-g)= \frac{8mg}{5}$$

А для нижнего грузика слева

$$ma=mg-T-3$$

$$T_3=m(g-a)= \frac{4mg}{5}$$

Ответ: $a=\frac{g}{5}$, $T=\frac{12mg}{5}$, $T_1= \frac{6mg}{5}$, $T_2= \frac{8mg}{5}$, $T_3= \frac{4mg}{5}$.

Задача 7.

Два груза массами $m_1 = 100$ г и $m_2 = 50$ г соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (рис.). Грузы прижимаются друг к другу с постоянными силами $F = 1$ Н. Коэффициент трения между ними $\mu = 0,1$. Найти ускорение, с которым движутся грузы.

Записываем уравнение по второму закону:

$$m_1a=m_1g-T-F_{tr}$$

$$m_2a=T-m_2g-F_{tr}$$

Тогда

$$a(m_1+m_2)=g(m_1-m_2)-2F_{tr}$$

$$a=\frac{ g(m_1-m_2)-2F_{tr}}{ m_1+m_2}=\frac{ g(m_1-m_2)-2\mu F}{ m_1+m_2}=\frac{ 10\cdot0,05-2\cdot1\cdot0,1}{ 0,15}=2$$

Ответ: $a=2$.

Задача 8.

Невесомая нить, перекинутая через неподвижный блок, пропущена через щель (рис.). При движении нити на нее действует постоянная сила трения $F$. На концах нити подвешены грузы, массы которых $m_1$ и $m_2$. Определить ускорение грузов.

Давайте предположим, что $m_2>m_1$. Тогда левый груз начинает движение вверх, правый – вниз. Записываем для них уравнение  по второму закону с учетом наличия силы трения:

$$m_2a=m_2g-T-F$$

$$m_1a=T-m_1g$$

Складывая уравнения, имеем:

$$(m_1+m_2)a=g(m_2-m_1)-F$$

Откуда

$$a=\frac{ g(m_2-m_1)-F }{ m_1+m_2}$$

Но, если бы $m_1>m_2$, тогда

$$a=\frac{ g(m_1-m_2)-F }{ m_1+m_2}$$

Тогда, чтобы учесть обе возможности, запишем ответ так:

Ответ: $a=\frac{ g\mid m_1-m_2 \mid-F }{ m_1+m_2}$.

Задача 9.

Через невесомый блок перекинута легкая нерастяжимая нить, к одному концу которой привязан груз массой $m_1 = 100$ г, а по другому
скользит кольцо массой $m_2 = 250$ г (рис.). С каким ускорением движется кольцо, если груз $m_1$  неподвижен?

Сила трения кольца в данном случае и порождает силу натяжения нити, то есть это одна и та же сила. Поэтому для неподвижного груза

$$T=m_1g$$

А для кольца

$$m_2a=m_2g-T=m_2g-m_1g$$

$$a=g-\frac{m_1}{m_2}g=g\left(1-\frac{m_1}{m_2}\right)=10(1-0,4)=6$$

Ответ: 6 м/с$^2$.