Теорема Штейнера

Задачи на тему «теорема Штейнера». Сначала давайте соберем в «кучку» все формулы моментов инерции для часто встречающихся тел. Момент инерции тонкого кольца (ось вращения перпендикулярна плоскости кольца и проходит через центр) $$J=mr^2$$ Момент инерции полого тонкостенного цилиндра  (ось вращения совпадает с осью цилиндра) $$J=mr^2$$ Момент инерции сплошного цилиндра (ось вращения совпадает с осью цилиндра) $$J=\frac{mr^2}{2}$$ Момент инерции полого толстостенного цилиндра (ось вращения совпадает с осью цилиндра) $$J=\frac{m}{2}\left(r_1^2+r_2^2\right)$$ Момент инерции диска (ось вращения совпадает с осью диска) $$J=\frac{mr^2}{2}$$ Момент инерции диска (ось вращения совпадает с диаметром диска) $$J=\frac{mr^2}{4}$$ Момент инерции шара (ось вращения совпадает с центром) $$J=\frac{2mr^2}{5}$$ Момент инерции полой тонкостенной сферы (ось вращения совпадает с центром) $$J=\frac{2mr^2}{3}$$ Момент инерции тонкого стержня  (ось вращения совпадает с центром) $$J=\frac{ml^2}{12}$$ Напоминаю теорему Штейнера: момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Теорема Штейнера

$$J=J_C+md^2$$ Теперь можно решить пару задач.

Задача 1.

Найти момент инерции обруча массой $m$ и радиусом $R$ относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно обручу. Решение:

К задаче 1

По таблице определим момент инерции обруча (кольца), и прибавим произведение массы тела на квадрат расстояния между осями, а это – радиус кольца. Тогда $$J= mr^2+ mr^2=2mr^2$$ Ответ: $J=2mr^2$   Задача 2. Найти момент инерции тонкого стержня массой $m$ и длиной $L$ относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на одну треть его длины. Решение.

К задаче 2

Расстояние между осями $$d=\frac{L}{2}-\frac{L}{3}=\frac{L}{6}$$ Согласно таблице момент инерции стержня равен $J_C=\frac{ml^2}{12}$, тогда по теореме Штейнера $$J= J_C+md^2=\frac{ml^2}{12}+\frac{ml^2}{36}=\frac{ml^2}{9}$$ Ответ: $J=\frac{ml^2}{9}$  

Задача 3.

Два шара радиусами $R=2$ см и массой $m=10$ г каждый скреплены тонким стержнем массой $M=40$ г и длиной $L=20$ см. Найти момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр тяжести, а также относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей в $\frac{L}{4}$ от его конца.

К задаче 3

Решение:

1. Сначала найдем момент инерции системы относительно ее центра масс.

$$J=J_{st}+2 J_{sh}$$ Здесь $J_{st}$ - момент инерции стержня, $J_{sh}$ - момент инерции одного из шаров. Момент инерции стержня определим по таблице, так как очевидно, что его центр является центром масс системы и ось вращения будет проходить через центр масс стержня. $$J_{st}=\frac{ML^2}{12}$$ Определим момент инерции одного из шаров по теореме Штейнера: $$ J_{sh}=J_C+md^2$$ $$d=R+\frac{L}{2}$$ $$ J_{sh}=\frac{2mr^2}{5}+m\left(R+\frac{L}{2}\right)^2$$ Тогда ответом на пункт а) будет $$J=\frac{ML^2}{12}+\frac{4mr^2}{5}+2m\left(R+\frac{L}{2}\right)^2=\frac{0,04\cdot0,2^2}{12}+\frac{4\cdot0,01\cdot0,02^2}{5}+2\cdot0,01\left(0,02+0,1\right)^2=4,2\cdot10^{-4}$$ б) Теперь пусть ось проходит на расстоянии четверти длины стержня от его конца. Тогда момент инерции стержня будет равен по теореме Штейнера $$J_{st}=J_C+Md_1^2=\frac{ML^2}{12}+\frac{ML^2}{16}$$ Момент инерции шара, ближнего к оси вращения: $$ J_{sh}=J_C+md_2^2=\frac{2mr^2}{5}+m\left(R+\frac{L}{4}\right)^2$$ Момент инерции шара, дальнего от оси вращения: $$ J_{sh}=J_C+md_3^2=\frac{2mr^2}{5}+m\left(R+\frac{3L}{4}\right)^2$$ Тогда ответом на пункт б) будет

$$J=\frac{7ML^2}{48}+\frac{4mr^2}{5}+m\left(R+\frac{L}{4}\right)^2+m\left(R+\frac{3L}{4}\right)^2=$$ $$=\frac{7\cdot0,04\cdot0,2^2}{48}+\frac{4\cdot0,01\cdot0,02^2}{5}+0,01\left(0,02+0,05\right)^2+0,01\left(0,02+0,15\right)^2=5,7\cdot10^{-4}$$ Ответ: а) $J=4,2\cdot10^{-4}$ кг$\cdot$ м$^2$, б) $J=5,7\cdot10^{-4}$ кг$\cdot$ м$^2$.

Задача 4.

Имеется диск диаметром $D=40$ см и массой $M=300$ г. В диске вырезали круглое отверстие диаметром 8 см, центр которого находится на расстоянии $a=\frac{D}{4}$ от центра диска. Найти момент инерции $J$ фигуры относительно оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его плоскости.

К задаче 4

Решение: $$J=J_1-J_2$$ $ J_1$ - момент инерции диска, $J_2$ - вырезанная часть. $$J_1=\frac{1}{2}MR^2=\frac{1}{8}MD^2$$ $$J_2=\frac{1}{2}mr^2+ma^2=\frac{1}{16}mD^2+\frac{1}{8}md^2$$ $m$ - масса вырезанной части. Массу вырезанной части найдем как $m=\sigma S_1$, $\sigma=\frac{M}{S}$ - поверхностная плотность диска. Если $S$ - площадь диска, а $S_1$ - площадь вырезанной части, то $$S=\frac{\pi D^2}{4}$$ $$S_1=\frac{\pi d^2}{4}$$ $$m=\frac{M d^2}{D^2}$$ Тогда момент инерции вырезанной части $$J_2=\frac{Md^2}{16D^2}\left(2d^2+D^2\right)$$ И момент инерции фигуры $$J=\frac{MD^2}{8}-\frac{Md^2}{16D^2}\left(2d^2+D^2\right)= \frac{M}{16D^2}\left(2D^4-2d^4-d^2D^2\right)=$$ $$= \frac{0,3}{16\cdot0,4^2}\left(2\cdot0,4^4-2\cdot0,08^4-0,08^2\cdot0,4^2\right)=58,7\cdot10^{-4}$$ Ответ: $J=58,7\cdot10^{-4}$ кг$\cdot$ м$^2$.