Теорема о движении центра масс - 1

Статья посвящена теореме о движении центра масс, а также комбинированным задачам, где эта теорема используется.

Задача 1.

Веревка массой $m$ и длиной $l$ вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее концов. Найти силу натяжения веревки на расстоянии $\frac{2l}{3}$ от оси вращения.

К задаче 1

Решение. Представим веревку в виде двух брусков, один будет иметь массу $\frac{2}{3}m$, второй $\frac{1}{3}m$, и соединены они будут невесомой нитью – вот ее-то натяжение нам и надо найти.

Деление веревки на куски

Для бруска длиной $\frac{l}{3}$ запишем уравнение по второму закону:

$$T=\frac{1}{3}ma$$

По теореме о движении центра масс

$$a=\omega^2R$$

Где $R$ - расстояние от оси вращения до центра масс внешнего куска.

$$R=\frac{2l}{3}+\frac{l}{6}=\frac{5l}{6}$$

$$T=\frac{1}{3}m\omega^2\cdot\frac{5l}{6}=\frac{5lm\omega^2}{18}$$

Ответ: $T=\frac{5l m\omega^2}{18}$

Задача 2.

Изогнутая трубка состоит из одного горизонтального колена и двух вертикальных колен. Трубка укреплена на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси. Вертикальные колена находятся на расстояниях $R$ и $4R$ от оси вращения. Найдите установившуюся разность уровней (по высоте) налитой в трубку воды в ее вертикальных коленах. Диаметр трубки значительно меньше ее длины.

К задаче 2

Решение.

Рассмотрим горизонтальный участок трубки. По теореме о центре масс

$$m a_{zm}=F_2-F_1$$

Горизонтальный участок

Силы, действующие на горизонтальный столб слева и справа равны:

$$F_1=(p_0+\rho g h_1)S$$

$$F_2=(p_0+\rho g h_2)S$$

$p_0$ - атмосферное давление.

Распишем массу:

$$m=\rho V=\rho\cdot 3RS$$

И тогда первое уравнение после подстановок будет выглядеть так:

$$\rho g (h_2-h_1)S=\rho\cdot 3RS\cdot \omega^2\cdot 2,5R$$

$2,5R$ - таково расстояние от центра масс горизонтального столбика до оси вращения.

$$\Delta h=\frac{15}{2}\frac{\omega^2 R^2}{g}$$

Ответ: $\Delta h=\frac{15}{2}\frac{\omega^2 R^2}{g}$