Задачник Добродеева, статика -3

Задача 8.9.

С какой минимальной горизонтальной силой $F$ надо действовать на брусок массы $m = 1$ кг, находящийся на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^{\circ}$, чтобы он покоился? Коэффициент трения бруска о плоскость $\mu = 0,2$.

Рисунок к задаче 8.9

Решение. Введем оси: ось $y$ - перпендикулярно плоскости. По ней

$$N=mg\cos \alpha+F\sin \alpha$$

Ось $x$ - вдоль плоскости вниз, по ней (тело покоится, $a=0$):

$$0=mg\sin \alpha-F\cos\alpha-F_{tr}$$

$$0=mg\sin \alpha-F\cos\alpha-\mu N$$

$$0=mg\sin \alpha-F\cos\alpha-\mu (mg\cos \alpha+F\sin \alpha )$$

Откуда

$$F=\frac{mg(\sin \alpha-\mu \cos \alpha)}{ \cos \alpha+\mu \sin \alpha }$$

$$F=\frac{10(0,5-0.2 \frac{\sqrt{3}}{2})}{ \frac{\sqrt{3}}{2}+0,2\cdot 0,5}=3,4$$

Ответ: 3,4 Н

Задача 8.10.

Определить графически положение центра тяжести плоского однородного листа, изображенного на рисунке.

Решение. Разбиваем нашу фигуру сложной формы на две такие, центры тяжести которых было бы легко определить. Конечно, это прямоугольники.

Рисунок к задаче 8.10

Определяем их центры тяжести – это точки пересечения их диагоналей – и соединяем фиолетовым отрезком. Теперь надо повторить операцию: снова разбить фигуру на две с понятными центрами тяжести, только по-другому. Снова соединяем центры тяжести полученных прямоугольников фиолетовым отрезком. А в самом конце накладываем два рисунка друг на друга: нам надо определить, где же пересекутся сами фиолетовые отрезки. Это и будет центр тяжести всей фигуры.

Задача 8.11.

Определить расстояние между центром тяжести однородного диска радиусом $R$ с вырезом в виде диска радиусом $r$ и центром большого диска. Расстояние между центрами диска и выреза равно $а$.

Рисунок к задаче 8.11

Решение. Решим задачу, составив уравнение моментов для двух масс: диска с вырезом и вложенной в свой вырез отсутствующей массы. У такой фигуры центр тяжести – посередине. Вот относительно середины и составляем уравнение. При этом удобно считать, что масса вырезанной части отрицательна, то есть ее момент противоположен моменту силы тяжести части с вырезом:

$$(M-m)gx-mga=0$$

$x$ - расстояние от центра всего диска до центра тяжести диска с вырезом, $M$ - масса полного диска без выреза, $m$ - масса вырезанной части.

$$x=\frac{ma}{M-m}=\frac{\pi r^2 \rho a}{\pi(R^2-r^2)\rho}=\frac{ar^2}{R^2-r^2}$$

Или

$$x=\frac{a}{\frac{R^2}{r^2}-1}$$

Ответ: $x=\frac{a}{\frac{R^2}{r^2}-1}$