Задачник Добродеева, статика -2

Задача 8.5.

Каким должен быть минимальный коэффициент трения $\mu$ основания куба о горизонтальную плоскость, чтобы его можно было опрокинуть через ребро горизонтальной силой, приложенной к верхней грани? Чему должна быть равна приложенная сила $F$, если масса куба $М$?

Рисунок к задаче 8.5

Решение. Сила $F$ имеет плечо $a$ (длина ребра куба), а сила тяжести – плечо $\frac{a}{2}$, поэтому, чтобы опрокинуть куб, надо приложить силу

$$Fa\geqslant mg\cdot \frac{a}{2}$$

$$F\geqslant \frac{mg}{2}$$

Также необходимо, чтобы сила $F$ не стащила наш куб с места, то есть чтобы она была бы меньше или равна силе трения:

$$F\leqslant F_{tr}=\mu m g$$

Откуда

$$\mu \geqslant \frac{F}{mg}=\frac{0,5mg}{mg}=0,5$$

Ответ: $F\geqslant \frac{mg}{2}$, $\mu \geqslant 0,5$.

Задача 8.6.

Колесо радиусом $R$ и массой $m$ стоит перед ступенькой высотой $h < R$. Какую наименьшую горизонтальную силу $F$ надо приложить к оси колеса, чтобы оно могло подняться на ступеньку? Трением пренебречь.

Рисунок к задаче 8.6

Решение. Колесо будет опираться о край ступеньки. При этом плечо силы $F$ показано зеленым отрезком и равно $R-h$, а плечо силы $mg$ показано фиолетовым отрезком и по теореме Пифагора будет равно

$$d_{mg}=\sqrt{R^2-(R-h)^2}=\sqrt{2Rh-h^2}$$

Уравнение моментов относительно края ступеньки

$$F(R-h)-mg\sqrt{2Rh-h^2}=0$$

$$F=\frac{mg\sqrt{2Rh-h^2}}{R-h}$$

Ответ: $F=\frac{mg\sqrt{2Rh-h^2}}{R-h}$

Задача 8.7.

Лестница длиной $l = 3$ м стоит, упираясь верхним закругленным концом в гладкую стену, а нижним - в пол. Угол наклона лестницы к горизонту $\alpha = 60^{\circ}$, ее масса $m = 15$ кг. На лестнице на расстоянии $а = 1$ м от ее верхнего конца стоит человек массы $М = 60$ кг. С какой силой $F$ давит на пол нижний конец лестницы?

Решение. Расставим силы.

Рисунок к задаче 8.7

Тогда совершенно понятно, что $F_{tr}=N_2$, а $N_1=Mg+mg=750$ Н.

Определим $N_2$ из уравнения моментов, составленного для точки $B$. Сила тяжести лестницы $mg$ будет иметь плечо $OB$, а сила тяжести человека $Mg$ - плечо $KB$:

$$mg\cdot OB+Mg\cdot KB-N_2\cdot AD=0$$

Отрезок $DB$ имеет длину $\frac{l}{2}=1,5$ м, отрезок $OB=0,75$ м, отрезок $BK=1$ м (из теоремы Фалеса и с учетом, что сила тяжести лестницы приложена к ее центру). То есть

$$0,75mg+Mg=N_2\cdot l\cos 30^{\circ}$$

$$0,75mg+Mg=N_2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Откуда

$$N_2=\frac{150\cdot 0,75+600}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=274$$

Теперь из треугольника сил найдем, с какой силой лестница давит на пол. Это будет векторная сумма сил $N_2$ и $N_1$ (трения и силы реакции опоры):

$$F=\sqrt{(F_{tr}^2+N_1^2}=\sqrt{274^2+750^2}=798,5$$

Ответ: $F=800$ Н.

Задача 8.8.

У стены стоит лестница. Коэффициент трения лестницы о стену $\mu_1 = 0,4$, а о землю $\mu_2 = 0,5$. Определить наименьший угол $\alpha$, который лестница может образовать с горизонтом, не соскальзывая.

Рисунок к задаче 8.8.

Решение. Относительно точки $B$ составим уравнение моментов:

$$mg\cdot \frac{l}{2}\cos \alpha-N_1 \cdot l\sin \alpha-F_{tr1}l\cos \alpha=0$$
Здесь $l$ - длина лестницы, $\alpha$ - угол, который она составляет с полом. Дополним это уравнение следующими:

$$ F_{tr2}=\mu_2 N_2=N_1$$

$$ F_{tr1}=\mu_1 N_1$$

$$N_2+ F_{tr1}=mg$$

Вернемся к первому уравнению. Разделим его на $l$, а также и на $\cos \alpha$:

$$mg\cdot \frac{1}{2}-N_1 \cdot\operatorname{tg}\alpha-F_{tr1}=0$$
Или

$$\frac{mg }{2}-N_1 \cdot\operatorname{tg}\alpha-\mu_1 N_1=0$$
Откуда

$$N_1=\frac{mg}{2(\mu_1+\operatorname{tg}\alpha) }$$

Тогда

$$N_2=\frac{N_1}{\mu_2}=\frac{mg}{2\mu_2(\mu_1+\operatorname{tg}\alpha) }$$

Вместо $mg$ в последнее подставим $mg= N_2+ F_{tr1}=N_2+\mu_1N_1$:

$$N_2=\frac{ N_2+\mu_1N_1}{2\mu_2(\mu_1+\operatorname{tg}\alpha) }$$

$$N_2=\frac{ N_2+\mu_1\mu_2N_2}{2\mu_2(\mu_1+\operatorname{tg}\alpha) }$$

Сократим на $N_2$:

$$1=\frac{ 1+\mu_1\mu_2}{2\mu_2(\mu_1+\operatorname{tg}\alpha) }$$

Откуда

$$\mu_1+\operatorname{tg}\alpha=\frac{ 1+\mu_1\mu_2}{2\mu_2}$$

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{ 1+\mu_1\mu_2}{2\mu_2}-\mu_1$$

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{ 1-\mu_1\mu_2}{2\mu_2}$$

Ответ: $\alpha=\operatorname{arctg}\frac{ 1-\mu_1\mu_2}{2\mu_2}$