Задачник Добродеева, статика -1

Задача 8.1.

На кронштейне висит груз массой $m = 90$ кг. Определить силы натяжения стержней $АВ$ и $ВС$. Стержни легкие. Стержень $АВ$ горизонтален. Угол при вершине В равен $\beta = 60^{\circ}$. В точках А, В и С  - шарниры.

Рисунок к задаче 1

Решение. «Встаем» в точку С и пишем уравнение моментов относительно нее. Тогда сила натяжения стержня $BC$ не войдет в уравнение, так как ее плечо равно нулю (линия действия силы проходит через точку $C$). Сила $mg$ груза будет иметь плечо, равное $\frac{BC}{2}$, а сила натяжения стержня $T_{AB}$ будет  иметь плечо $AC=BC\cdot \cos 30^{\circ}$. Тогда уравнение моментов:

$$mg\cdot\frac{BC}{2}- T_{AB}\cdot BC\cdot \cos 30^{\circ}=0$$

$$ T_{AB}=\frac{mg}{\sqrt{3}}=520$$

Силу же $T_{BC}$ найдем из треугольника сил:

$$ T_{BC}=\sqrt{(mg)^2+( T_{AB})^2}=\sqrt{900^2+520^2}=1039$$

Ответ:  $T_{AB}=520$ Н; $ T_{BC}=1039$ Н.

Задача 8.2.

Два человека несут балку длиной $L = 5$ м, причем один поддерживает ее на расстоянии $l_1 =50$ см от конца, а другой – на расстоянии $l_2 = 1$ м от другого конца. Определить, во сколько раз $n$ нагрузка на второго человека превышает нагрузку на первого.

Рисунок к задаче 2

Запишем уравнение моментов сначала относительно одного человека, а потом – относительно другого. Относительно первого:

$$mg\cdot (\frac{L}{2}-l_1)-N_2\cdot (L—l_1-l_2)=0$$

$$N_2=\frac {mg\cdot (\frac{L}{2}-l_1)}{ L—l_1-l_2}=\frac{2mg}{3,5}$$

Относительно второго:

$$mg\cdot (\frac{L}{2}-l_2)-N_1\cdot (L—l_1-l_2)=0$$

$$N_1=\frac {mg\cdot (\frac{L}{2}-l_2)}{ L—l_1-l_2}=\frac{1,5mg}{3,5}$$

Отношение сил будет таким:

$$\frac{N_2}{N_1}=\frac{2}{1,5}=\frac{4}{3}$$

Ответ: 1,33

Задача 8.3.

Однородная цепочка длины $l$ частично лежит на столе, частично свешивается с него. Какова максимальная длина $l_1$ свешивающейся со стола части цепочки, если коэффициент трения между цепочкой и столом равен $\mu$.

Решение. Сила трения оставшейся на столе части цепочки не должна быть меньше силы тяжести, действующей на свисающую часть. Пусть на столе лежит часть цепочки длиной $l-l_1$, тогда при линейной плотности $\lambda$ масса лежащей части $\lambda (l-l_1)$, а сила трения

$$F_{tr}=\lambda (l-l_1)\mu g$$

Сила тяжести на свисающую часть $m_1g=\lambda l_1g$. Тогда

$$\lambda (l-l_1)\mu g \geqslant \lambda l_1g$$

Сократим и преобразуем:

$$(l-l_1)\mu \geqslant l_1$$

$$l\mu \geqslant l_1+l_1\mu$$

$$l_1\leqslant \frac{l\mu}{1+\mu}$$

Ответ: $l_1\leqslant \frac{l\mu}{1+\mu}$

Задача 8.4.

К вертикальной гладкой стене в точке А на нити длиной $l$ подвешен шар (рис.) массы $m$. Какова сила натяжения нити $Т$ и сила давления шара на стену $F$, если его радиус $R$? Трением о стену пренебречь.

Рисунок к задаче 4

Решение. Так как трения нет, то сила натяжения нити пройдет через центр шара (ее линия действия). Плечо этой силы довольно сложно найти, поэтому «встанем» в точку прикрепления нити к стене с тем, чтобы плечо силы натяжения нити стало бы нулевым. Плечо силы реакции найдем через обычного Пифагора:

$$d_N=\sqrt{(l+R)^2-R^2}$$

Тогда уравнение моментов будет таким:

$$mgR-N\sqrt{(l+R)^2-R^2}=0$$

Или

$$N=\frac{mgR}{\sqrt{l^2+2lR}}$$

Силу же натяжения нити определим через треугольник сил:

$$T=\sqrt{(mg)^2+N^2}=\sqrt{(mg)^2+\frac{(mgR)^2}{l^2+2lR}}=\frac{mg(l+R)}{\sqrt{ l^2+2lR}}$$

Ответ: $N=\frac{mgR}{\sqrt{l^2+2lR}}$, $T=\frac{mg(l+R)}{\sqrt{ l^2+2lR}}$.