Задача с блоками

Задача.

На рисунке показана система из нитей и блоков, про которую известно, что $T_1=m_3g=10$ Н, вес блока $Mg=3$ Н. Нужно определить $m_1$, $m_2$, $T_3$, $T_2$, если система в равновесии.  

Рисунок к задаче

Решение. Запишем второй закон Ньютона для всех масс, предварительно обозначив силы натяжения нитей. Они все разные, так как блоки весомые.  

Силы на нити и блоки

$$T_1=m_3g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

$$2T_2=(M+m_2)g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

$$T_3=T_1+T_5+T_2+Mg\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$

$$T_4=m_1g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$

$$2T_5=T_2+Mg\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$$

$$2T_6=T_4+Mg\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$$

Теперь преобразуем это, начнем с (5):

$$T_5=\frac{T_2}{2}+\frac{Mg}{2}$$

Но $T_5=T_1$!

$$T_1= T_5=\frac{T_2}{2}+\frac{Mg}{2}$$

$$2T_1=T_2+Mg$$

Откуда

$$T_2=2T_1-Mg=20-3=17$$

Теперь смотрим на уравнение (2):

$$2T_2=(M+m_2)g=34$$

$$3+m_2g=34$$

$$m_2g=31$$

$$m_2=3,1$$

Определим $T_3$, для этого понадобится уравнение (3):

$$T_3=T_1+T_5+T_2+Mg$$

$$T_3=10+10+17+3=40$$

Обратим внимание, что $T_6=T_5$.

Теперь определим последнюю массу:

$$T_6=T_5=\frac{T_2}{2}+\frac{Mg}{2}=\frac{17}{2}+\frac{3}{2}=10$$

Подставим это в уравнение (6)

$$2T_6=T_4+Mg$$

$$20=T_4+3$$

$$T_4=17$$

Но $T_4=m_1g$, следовательно, $m_1=1,7$ кг.

Ответ: $m_1=1,7$ кг, $m_2=3,1$ кг, $T_2=17$ Н, $T_3=40$ Н.