Задача про падающий чупа-чупс.

Попалась мне  интересная задачка, как обычно, с учеником. Ученик из 239 школы. А задача из Московской олимпиады за 2012 год. Решение мое не дало того ответа в общем виде, который приведен на сайте олимпиады, и стараться обязательно достичь того вида общего решения, который приведен в ответах, я не стала. Понятно, что пара математических преобразований может сделать ответ «образцовым», но я не стала за это бороться – когда задача решена, это уже не интересно. Численный ответ верен.

Задача. «Чупа-чупс стоял в углу…» За что его поставили, неясно, но стоять ему не очень-то хотелось. Вот он и стал постепенно отставлять свою «ножку» все дальше вдоль биссектрисы того прямого угла между стенками, в который его поставили, а «головой» опираясь о стенки (см. рисунок). При каком угле $\alpha$ между ножкой и полом чупа-чупс упадет? Считать, что вся его масса сосредоточена в однородной шарообразной «голове» радиусом $R$, расстояние от центра головы до конца ножки равно $l$, коэффициент трения головы о стенки угла – $\mu_1$, а ножки об пол – $\mu_2$. Решите задачу в общем виде, а затем проведите численный расчет угла α для случая $\mu_1 = \mu_2 = 0,6$, $l = 4R$.

Решение. Для начала расставим все силы.

Расстановка сил

Запишем теперь условия равновесия. По вертикальной оси:

$$mg=N_2+2F_{tr1}$$

По горизонтали действуют две силы реакции опоры $N_1$ и сила трения $F_{tr2}$, направленная по гипотенузе угла. Для горизонтальной оси имеем:

$$2N_1\cos 45^{\circ}= F_{tr2}$$

Относительно центра тяжести (центра головы) составим уравнение моментов. Для этого понадобится еще рисунок (слева - вид сверху на голову чупа-чупса, справа - проекция на плоскость, проходящую через центр головы чупа-чупса и биссектрису прямого угла):

Пояснения для правила моментов

$$l\cdotN_2\cos\alpha- l\cdot F_{tr2} \sin\alpha-2 F_{tr1}\cdot DO=0$$

Длина отрезка $DO$ легко определяется из треугольника $ABC$ через его площадь:

$$DO=CD$$
$$AC\cdot CB=AB\cdot CD$$

$$CD=\frac{ AC\cdot CB }{ AB }$$

Длины отрезков $AC$ и $CB$ равны радиусу головы чупа-чупса, а длина гипотенузы $AB$ тогда равна $R\sqrt{2}$. Следовательно,

$$DO=CD=\frac{R}{\sqrt{2}}$$

При соскальзывании чупа-чупса также справедливо

$$ F_{tr1}=\mu_1 N_1$$

$$ F_{tr2}=\mu_2 N_2$$

Из второго условия равновесия выразим $N_2$:

$$2N_1\cos 45^{\circ}= F_{tr2}$$

$$2N_1\cos 45^{\circ}= \mu_2 N_2$$

$$N_2=\frac{2N_1\cos 45^{\circ}}{\mu_2 }$$

Подставим все в уравнение моментов:

$$l\cdot\frac{2N_1\cos 45^{\circ}}{\mu_2 }\cos\alpha- l\cdot \mu_2 \frac{2N_1\cos 45^{\circ}}{\mu_2 } \sin\alpha-2 \mu_1 N_1\cdot \frac{R}{\sqrt{2}}=0$$

Сокращаем на $N_1$ и подставляем значение $\cos 45^{\circ}$:

$$l\cdot\frac{2\frac{\sqrt{2}}{2}}{\mu_2 }\cos\alpha- l\cdot \mu_2 \frac{2\frac{\sqrt{2}}{2}}{\mu_2 } \sin\alpha-2 \mu_1 \cdot \frac{R}{\sqrt{2}}=0$$

$$l\cdot\frac{\sqrt{2}}{\mu_2 }\cos\alpha- l\cdot \sqrt{2}} \sin\alpha-2 \mu_1 \cdot \frac{R}{\sqrt{2}}=0$$

$$l\cdot\frac{1}{\mu_2 }\cos\alpha- l\cdot \sin\alpha- \mu_1 \cdot R=0$$

Тогда

$$\cos\alpha-\mu_2\sin\alpha=\frac{R}{l}\mu_1\mu_2$$

$$\cos\alpha-\mu_2\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac{R}{l}\mu_1\mu_2$$

$$\cos\alpha-\frac{R}{l}\mu_1\mu_2=\mu_2\sqrt{1-\cos^2\alpha}$$

$$\cos^2\alpha-\frac{2R}{l}\mu_1\mu_2\cos\alpha +\frac{R^2}{l^2}\mu^2_1\mu^2_2=\mu^2_2\left(1-\cos^2\alpha\right)$$

$$\mu^2_2-\mu^2_2\cos^2\alpha-\cos^2\alpha+\frac{2R}{l}\mu_1\mu_2\cos\alpha-\frac{R^2}{l^2}\mu^2_1\mu^2_2=0$$

$$\cos^2\alpha(1+\mu^2_2)- \frac{2R}{l}\mu_1\mu_2\cos\alpha-\mu^2_2\left(1-\frac{R^2}{l^2}\mu^2_1\right)=0$$

Получили квадратное уравнение, дискриминант которого

$$D=\frac{4R^2\mu^2_1\mu^2_2}{l^2}+4(1+\mu^2_2)\mu^2_2\left(1-\frac{R^2}{l^2}\mu^2_1\right)$$

$$D=4\mu^2_2+4\mu^4_2-\frac{4R^2\mu^2_1\mu^4_2}{l^2}$$

Теперь можно определять корни:

$$\cos\alpha=\frac{\frac{2R}{l}\mu_1\mu_2\pm\sqrt{4\mu^2_2+4\mu^4_2-\frac{4R^2\mu^2_1\mu^4_2}{l^2}}}{2(1+\mu^2_2)}$$

Определяем численное значение угла:

$$\cos\alpha=\frac{\frac{2R}{4R}\cdot0,36\pm\sqrt{4\cdot0,36+4\cdot0,1296-\frac{4R^2\cdot0,36\cdot0,1296}{16R^2}}}{2(1+0,36)}$$

$$\cos\alpha=\frac{0,5\cdot0,36\pm\sqrt{1,44+0,5184-\frac{\cdot0,36\cdot0,1296}{4}}}{2,72}$$

$$\cos\alpha=\frac{0,18\pm\sqrt{1,95}}{2,72}=\frac{0,18\pm 1,4}{2,72}$$

$$\cos\alpha=\frac{0,18+1,4}{2,72}=0,58$$

$$\alpha=\arccos(0,58)=54,61^{\circ}$$

Ответ: чупа-чупс начнет падение при угле наклона ножки к горизонтали, равном $54,6^{\circ}$.