Статика: задачи ненулевого уровня

В этой статье собраны задачи из задачника Русакова и др. Задачи «крепкие» - тянут на подготовку к городскому этапу олимпиады. Вполне доступны для решения школьниками от  8 класса, знакомыми с азами тригонометрии – геометрическими определениями основных функций.

Задача 1.

Грузы $m_1$ и $m_2$ висят на нити, перекинутой через блок. Система находится в равновесии. Найти массу груза $m_1$, если известны углы $\alpha$, $\beta$ и масса $m_2$.

Рисунок 1

Запишем условие равновесия груза $m_2$:

$$m_2g=T_1$$

И условие равновесия груза $m_1$:

$$T_1\sin{\beta}+T_2\sin{\alpha}=m_1g~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Очевидно также, что

$$T_1\cos{\beta}=T_2\cos{\alpha}$$

Откуда

$$ T_2=\frac{ T_1\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}$$

Подставим в (1):

$$ T_1\sin{\beta}+\frac{ T_1\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}\sin{\alpha}= m_1g$$

Или

$$ m_2\sin{\beta}+m_2\cos{\beta}}\operatorname{tg}{\alpha}= m_1$$

Ответ: $m_1=m_2(\sin{\beta}+\cos{\beta}}\operatorname{tg}{\alpha})$.

Задача 2.

Два мальчика – маленький $m_1$ и большой $m_2$, качаются на уравновешенной доске, сидя на ее концах. Известно, что точка опоры находится на расстоянии, равном $\frac{3}{4}$ длины доски от маленького мальчика. Найти массу доски.

Рисунок 2

Условие равновесия доски:

$$m_1g\cdot \frac{3L}{4}+Mg\cdot\frac{L}{4}=m_2g\frac{L}{4}$$

Или

$$M=m_2-3m_1$$

Ответ: $M=m_2-3m_1$

Задача 3.  Квадрат со стороной $a$ составлен из четырех тонких стержней, плотность материала которых $\rho, 2\rho, 3\rho$ и $4\rho$. С квадратом связана система координат. Найти координаты центра масс системы.

Рисунок 3

Определим координату центра тяжести по оси $x$:

$$x=\frac{1}{M}\sum m_i x_i=\frac{1}{aS\rho+ 2aS\rho+ 3aS\rho+4aS\rho}\left(\frac{a^2}{2}S(2\rho+4\rho)+0\cdot aS\rho+a^2S\cdot 3\rho\right)= \frac{6a^2S}{10aS}=0,6a$$

Аналогично по оси $y$:

$$y=\frac{1}{M}\sum m_i y_i=\frac{1}{aS\rho+ 2aS\rho+ 3aS\rho+4aS\rho}\left(\frac{a^2}{2}S(\rho+3\rho)+0\cdot 4aS\rho+a^2S\cdot 2\rho\right)= \frac{4a^2S}{10aS}=0,4a$$

Ответ: $(0,6a; 0,4a)$.

Задача 4.

Тонкий однородный стержень укреплен шарнирно в точке $A$ и удерживается в равновесии горизонтальной нитью. Нить и стержень образуют угол $\alpha$. Масса стержня $m$. Найти: а) силу натяжения нити; б) модуль силы реакции шарнира при $\alpha=45^{\circ}$.

Рисунок 4

По теореме о трех непараллельных силах линии действия таких сил обязаны пересекаться в одной точке, что и показано на рисунке. То есть сила реакции $N$ не обязательно направлена вдоль стержня, а может образовывать угол $\beta$ с вертикалью.

Условия равновесия:

$$N_x=T$$

$$N_y=mg$$

Тогда реакция в шарнире

$$N=\sqrt{N_x^2+N_y^2}$$

Условие равенства моментов сил относительно шарнира:

$$Tl\sin{\alpha}-mg\frac{l}{2}\cos{\alpha}=0$$

Откуда

$$T=\frac{mg}{2}\operatorname{ctg}{\alpha}$$

Следовательно,

$$ N=\sqrt{\frac{m^2g^2}{4}\operatorname{ctg^2}{\alpha}+m^2g^2}$$

При $\alpha=45^{\circ}$:

$$ N=mg\sqrt{\frac{1}{4}\operatorname{ctg^2}{\alpha}+1}= mg\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{mg\sqrt{5}}{2}$$

$$\beta=\operatorname{arctg}{\frac{N_x}{N_y}}=\operatorname{arctg}{\frac{\operatorname{ctg}{\alpha}}{2}}$$

Ответ: $ N=\frac{mg\sqrt{5}}{2}$, $\beta=\operatorname{arctg}{\frac{\operatorname{ctg}{\alpha}}{2}}$, $T=\frac{mg}{2}\operatorname{ctg}{\alpha}$.

Задача 5.

Два однородных шара массами 10 и 12 кг с радиусами 4 и 6 см соединены посредством однородного стержня массой 2 кг и длиной 10 см. Центры шаров лежат на продолжении оси стержня. Найти расстояние в см от центра тяжести этой системы до оси, проходящей через середину стержня.

Рисунок 5

Относительно центра тяжести запишем уравнение моментов этой системы:

$$M_1g\cdot(x+\frac{L}{2}+r_1)+mg\cdot x=M_2g\cdot(\frac{L}{2}-x+r_2)$$

$$x(mg+M_2g+M_1g)= -M_1g\cdot(\frac{L}{2}+r_1)+M_2g(\frac{L}{2}+r_2)$$

$$x=\frac{ M_2(\frac{L}{2}+r_2) -M_1\cdot(\frac{L}{2}+r_1)}{ m+M_2+M_1}=\frac{ 12(5+6) -10\cdot(5+4)}{ 10+12+2}=\frac{42}{24}=\frac{7}{4}=1,75$$

Ответ: 1,75 см.