Простая физика
Категория:
Статика ...Статика в случае параллельных сил -1
Еще несколько задач на статику, и опять из хорошего лицея Москвы.
Задача 1.
Легкая пружина жесткости $k$ в недеформированном состоянии имеет длину $L_0$, нерастяжимая веревка массой $m$ имеет длину $L$ . Определите расстояние $H$ от точки перегиба веревки до потолка.
К задаче 1
Решение. Отношение массы веревки к ее длине - $\frac{m}{L}$. Поэтому, если веревка изгибается и от конца пружины до перегиба расположена ее длина $L-h$, то масса этого куска равна $m_1=\frac{m}{L}\cdot (L-H)$.
Тогда условием равновесия левой части веревки будет
$$kx= m_1g=\frac{mg}{L}\cdot (L-H)$$
Общая длина веревки и пружины
$$2H=L+L_0+x$$
$$x=2H-L-L_0$$
Подставляем в первое уравнение:
$$k(2H-L-L_0)= \frac{mg}{L}\cdot (L-H)$$
$$k(2H-L-L_0)L= mg\cdot (L-H)$$
$$2kHL-kL^2-kLL_0=mgL-mgH$$
$$H(2kL+mg)=mgL+kL^2+kLL_0=L(mg+kL+kL_0)$$
$$H=\frac{ L(mg+kL+kL_0)}{ 2kL+mg }$$
Ответ: $H=\frac{ L(mg+kL+kL_0)}{ 2kL+mg }$
Задача 2.
К системе из трех блоков подвешен груз массой $M= 2$ кг . Масса каждого блока равна $m = 1$ кг. Нити невесомы, трения нет. Определите силу натяжения нити в точке A.
К задаче 2
Решение.
Рассмотрим $n$-ный блок. Для него
$$T_n+T_n=mg+T_{n-1}$$
n-ный блок
$$T_n =\frac{ mg+T_{n-1}}{2}$$
Тогда
$$T_0=Mg$$
$$T_1=\frac{T_0+mg}{2}$$
$$T_2=\frac{T_1+mg}{2}$$
$$T_3=\frac{T_2+mg}{2}$$
Откуда
$$T_3=\frac{\frac{T_1+mg}{2}+mg}{2}=\frac{\frac{\frac{T_0+mg}{2}+mg}{2}+mg}{2}=\frac{\frac{\frac{Mg+mg}{2}+mg}{2}+mg}{2}=\frac{Mg}{2^3}+\frac{mg(2^3-1)}{2^3}=\frac{7m+M}{8}g=11,25$$
Ответ: 11,25 Н.
Задача 3.
Система, состоящая из однородных стержней, трех невесомых нитей и блока, находится в равновесии. Трения нет. Все нити вертикальны. Масса верхнего стержня $m_1= 3$ кг. Найдите массу $m_2$ нижнего стержня.
К задаче 3
Решение. Расставим силы. Точка А – середина второго стержня. Поэтому, если относительно нее записать уравнение моментов, то получим:
К задаче 3 - расстановка сил
$$T=T_1$$
Для верхнего стержня относительно точки $B$ можно записать такое уравнение моментов:
$$T_1L=\frac{L}{4}\cdot T+m_1g\cdot \frac{L}{2}$$
Делим на $L$:
$$T_1=\frac{1}{4}\cdot T+m_1g\cdot \frac{1}{2}$$
Умножаем на 4:
$$4T_1=T+2m_1g$$
Или
$$3T=2m_1g$$
То есть $T=20$ Н, а $2T=m_2g=40$ Н, откуда $m_2=4$.
Ответ: 4 кг.
Задача 4.
Неоднородный груз подвесили к системе, состоящей из невесомого рычага, установленного на опоре, однородного стержня, имеющего массу $m=2$ кг , двух блоков и нитей. При какой массе груза $M$ система окажется в равновесии? Опора делит рычаг в отношении 1: 2.
К задаче 4
Решение.
Запишем условия равновесия обоих стержней, однородного и неоднородного:
$$T+T_1=mg+T_2$$
$$T_2+2T=Mg$$
К задаче 4 - расстановка сил
Уравнение моментов относительно центра среднего рычага:
$$T\frac{l}{2}+T_2\frac{l}{2}=T_1\frac{l}{2}$$
Или
$$T+T_2=T_1$$
И уравнение моментов для самого верхнего из рычагов:
$$T_1\cdot \frac{2L}{6}=T\cdot\frac{4L}{6}+2T\cdot \frac{3L}{6}$$
Сократим на $L$:
$$T_1\cdot \frac{1}{3}=T\cdot\frac{2}{3}+2T\cdot \frac{1}{2}$$
Или (домножив на 3):
$$T_1=2T+3T$$
$$T_1=5T$$
Тогда
$$T_2=T_1-T=4T$$
Возвращаемся к первым двум уравнениям:
$$mg= T+T_1-T_2=2T$$
$$Mg=4T+2T=6T$$
Так как $T=10$ Н, то $Mg=6T=60$ Н, или $M=6$ кг.
Ответ: $M=6$ кг.