Статика в случае параллельных сил -1

Еще несколько задач на статику, и опять из хорошего лицея Москвы.

Задача 1.

  Легкая пружина жесткости $k$   в недеформированном состоянии имеет длину $L_0$, нерастяжимая веревка массой $m$ имеет длину $L$ . Определите расстояние $H$ от точки перегиба веревки до потолка. 

К задаче 1

Решение. Отношение массы веревки к ее длине - $\frac{m}{L}$. Поэтому, если веревка изгибается и от конца пружины до перегиба расположена ее длина $L-h$, то масса этого куска равна $m_1=\frac{m}{L}\cdot (L-H)$. Тогда условием равновесия левой части веревки будет $$kx= m_1g=\frac{mg}{L}\cdot (L-H)$$ Общая длина веревки и пружины $$2H=L+L_0+x$$ $$x=2H-L-L_0$$ Подставляем в первое уравнение: $$k(2H-L-L_0)= \frac{mg}{L}\cdot (L-H)$$ $$k(2H-L-L_0)L= mg\cdot (L-H)$$ $$2kHL-kL^2-kLL_0=mgL-mgH$$ $$H(2kL+mg)=mgL+kL^2+kLL_0=L(mg+kL+kL_0)$$ $$H=\frac{ L(mg+kL+kL_0)}{ 2kL+mg }$$ Ответ: $H=\frac{ L(mg+kL+kL_0)}{ 2kL+mg }$  

Задача 2.

К системе из трех блоков подвешен груз массой $M= 2$ кг . Масса каждого блока равна $m = 1$ кг. Нити невесомы, трения нет. Определите силу натяжения нити в точке A.

К задаче 2

Решение. Рассмотрим $n$-ный блок. Для него $$T_n+T_n=mg+T_{n-1}$$

n-ный блок

$$T_n =\frac{ mg+T_{n-1}}{2}$$ Тогда $$T_0=Mg$$ $$T_1=\frac{T_0+mg}{2}$$ $$T_2=\frac{T_1+mg}{2}$$ $$T_3=\frac{T_2+mg}{2}$$ Откуда $$T_3=\frac{\frac{T_1+mg}{2}+mg}{2}=\frac{\frac{\frac{T_0+mg}{2}+mg}{2}+mg}{2}=\frac{\frac{\frac{Mg+mg}{2}+mg}{2}+mg}{2}=\frac{Mg}{2^3}+\frac{mg(2^3-1)}{2^3}=\frac{7m+M}{8}g=11,25$$ Ответ: 11,25 Н.

Задача 3.

Система, состоящая из однородных стержней, трех невесомых нитей и блока, находится в равновесии. Трения нет. Все нити вертикальны. Масса верхнего стержня $m_1= 3$ кг. Найдите массу $m_2$ нижнего стержня.

К задаче 3

Решение. Расставим силы. Точка А – середина второго стержня. Поэтому, если относительно нее записать уравнение моментов, то получим:

К задаче 3 - расстановка сил

$$T=T_1$$ Для верхнего стержня относительно точки $B$ можно записать такое уравнение моментов: $$T_1L=\frac{L}{4}\cdot T+m_1g\cdot \frac{L}{2}$$ Делим на $L$: $$T_1=\frac{1}{4}\cdot T+m_1g\cdot \frac{1}{2}$$ Умножаем на 4: $$4T_1=T+2m_1g$$ Или $$3T=2m_1g$$ То есть $T=20$ Н, а $2T=m_2g=40$ Н, откуда $m_2=4$. Ответ: 4 кг.  

Задача 4.

Неоднородный груз подвесили к системе, состоящей из невесомого рычага, установленного на опоре, однородного стержня, имеющего массу $m=2$ кг , двух блоков и нитей. При  какой массе груза $M$ система окажется в равновесии? Опора делит рычаг в отношении 1: 2.

К задаче 4

Решение. Запишем условия равновесия обоих стержней, однородного и неоднородного: $$T+T_1=mg+T_2$$ $$T_2+2T=Mg$$

К задаче 4 - расстановка сил

Уравнение моментов относительно центра среднего рычага: $$T\frac{l}{2}+T_2\frac{l}{2}=T_1\frac{l}{2}$$ Или $$T+T_2=T_1$$ И уравнение моментов для самого верхнего из рычагов: $$T_1\cdot \frac{2L}{6}=T\cdot\frac{4L}{6}+2T\cdot \frac{3L}{6}$$ Сократим на $L$: $$T_1\cdot \frac{1}{3}=T\cdot\frac{2}{3}+2T\cdot \frac{1}{2}$$ Или (домножив на 3): $$T_1=2T+3T$$ $$T_1=5T$$ Тогда $$T_2=T_1-T=4T$$ Возвращаемся к первым двум уравнениям: $$mg= T+T_1-T_2=2T$$ $$Mg=4T+2T=6T$$ Так как $T=10$ Н, то $Mg=6T=60$ Н, или $M=6$ кг. Ответ: $M=6$ кг.