Статика. Силы и моменты

В задачах, связанных с равновесием тел, нужно, как правило, найти две силы (или больше) которые стремятся это тело повернуть по и против часовой стрелки. Если моменты этих сил равны, тело будет находиться в равновесии. А чтобы рассчитать момент, нужно также правильно определить плечо силы: это расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Задача 1.

 Однородный куб весит 100 Н. Какую горизонтальную силу нужно приложить к верхней точке куба, чтобы его опрокинуть?

Куб будет поворачиваться вокруг точки правой нижней точки основания. Мешать опрокидыванию будет сила тяжести. Плечо силы, с которой будем толкать – длина ребра куба. А плечо силы тяжести – половина ребра, так как она приложена в центре куба.

К задаче 1

Тогда правило моментов:

$$Fl=mg \frac{l}{2}$$

Отсюда

$$F= \frac {mg}{2}=\frac{100}{2}=50$$

Ответ: 50 Н.

Задача 2.

Лестница составляет с землей угол $70^{\circ}$ и опирается о вертикальную стену, трение о которую пренебрежимо мало. Найдите силы, действующие на лестницу со стороны земли и стены, если человек массой 70 кг поднялся по лестнице на две трети ее длины.

Сделаем чертеж. Запишем уравнения по осям, а также уравнение моментов относительно точки основания лестницы.

К задаче 2

$$\begin{Bmatrix}{ N_1d_2=N_2 d_1}\\{ N_1=F_{tr}\\{N_2=mg }\end{matrix}$$

Плечо силы $N_1$ равно $d_2=l \sin{\alpha}$, плечо силы $N_2$ - расстояние от основания лестницы до линии действия силы - $d_1=\frac{2}{3}l \cos{\alpha}$.

Тогда:

$$\begin{Bmatrix}{ N_1 l \sin{\alpha}=N_2 \frac{2}{3}l \cos{\alpha}}\\{ N_1=F_{tr}\\{N_2=mg }\end{matrix}$$

$$N_1=\frac{2mg}{3}\operatorname{ctg}{\alpha}$$

Подставим численные данные:

$$N_2=70 \cdot 9,8=686$$

$$N_1=\frac{2\cdot686}{3}\operatorname{ctg}{70^{\circ}}=169$$

Ответ: со стороны стены 169 Н, со стороны земли 686 Н.

Задача 3. Рабочий удерживает за один конец доску массой 40 кг так, что доска образует угол $30^{\circ}$ с горизонтальным направлением. Какую силу прикладывает рабочий в случае, когда эта сила направлена перпендикулярно доске? Найдите силу реакции опоры по модулю и направлению.

К задаче 3

Составим уравнение моментов относительно точки опоры доски:

$$ N \cdot0-mg  \cos{\alpha}\cdot \frac{l}{2}+Fl=0$$

Откуда находим:

$$F= mg  \cos{\alpha}\cdot \frac{1}{2}=400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=100\sqrt{3}=173$$

Определим теперь силу трения:

$$F_{tr}=F \sin{\alpha}=173 \frac{1}{2}=86,5$$

Найдем вертикальную составляющую силы реакции опоры:

$$N_v+ F \cos{\alpha}-mg=0$$

Откуда

$$N_v=mg- F \cos{\alpha}=400-173\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=250$$

Тогда сила реакции опоры равна по модулю:

$$N=\sqrt{ N_v ^2+ F_{tr}^2}=\sqrt{250^2+86,5^2}=264$$

И направлена она под углом $\beta$ к горизонту, а этот угол можно найти как арктангенс отношения вертикальной составляющей силы реакции опоры к силе трения:

$$\beta=\operatorname{arctg}{\frac{ N_v }{ F_{tr}}=\operatorname{arctg}{2,9}=71^{\circ}$$

Ответ: $F=173$ Н, $ N=264$ Н, $\beta=71^{\circ}$.

Задача 4.

Однородная балка массой $M$ и длиной $l$ подвешена за концы на двух пружинах. Обе пружины в ненагруженном состоянии имеют одинаковую длину, но при действии одинаковой нагрузки удлинение правой пружины в $n$ раз больше, чем удлинение левой. На каком расстоянии от левого конца балки надо положить груз массой $m$, чтобы балка приняла горизонтальное положение?

К задаче 4

Рассмотрим рисунок и составим систему уравнений: одно относительно точки $A$ прикрепления левой пружины, второе – относительно точки $B$ прикрепления правой.

$$\begin{Bmatrix}{ F_1\cdot0-mgx-Mg\frac{l}{2}+F_2 l =0}\\{F_2\cdot0+mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}-F_1l=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ F_2 l =mgx+Mg\frac{l}{2}}\\{ F_1l=mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}}\end{matrix}$$

Из условия, что «при действии одинаковой нагрузки удлинение правой пружины в $n$ раз больше, чем удлинение левой» заключаем, что $\frac{k_1}{k_2}=n$. На правой части рисунка видно, что $\Delta x_1=\Delta x_2=\Delta x$, следовательно, можно записать

$$F_1=k_1\Delta x$$

$$F_2=k_2\Delta x$$

Разделим теперь первое уравнение системы на второе:

$$\frac{F_2}{F_1}=\frac{k_2}{k_1}=\frac{1}{n}=\frac{ mgx+Mg\frac{l}{2}}{ mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}}$$

Разделим теперь еще  на $l$:

$$\frac{1}{n}=\frac{ 2mg\frac{x }{ l }+Mg}{ 2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg}$$

$$2mg\frac{x }{ l }+Mg=\frac{1}{n}\left(2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg \right)$$

$$\left(2mg\frac{x }{ l }+Mg\right)n= 2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg$$

$$2m\frac{x }{ l }(n+1)= 2m+M(1- n)$$

$$x=\frac{2m+M(1- n)}{ 2m(n+1) }l$$

Ответ: $x=\frac{2m+M(1- n)}{ 2m(n+1) }l$