Статика. Шар и цилиндр

Задача 1.

Цилиндр массой $m$ и радиусом $R$ удерживается на наклонной плоскости намотанной на него нитью. Нить расположена горизонтально, угол наклона плоскости равен $\alpha$. Найти силу натяжения нити. При каком значении коэффициента трения это возможно? 

Рисунок к задаче 1.

Решение. Расставим силы.

Расстановка сил и введение координатных осей

Запишем уравнения по второму закону Ньютона в проекциях на выбранные оси. На ось $x$:

$$F_{tr} \cos \alpha + T - N\sin \alpha=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

На ось $y$:

$$ N\cos \alpha + F_{tr}\sin \alpha -mg =0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

Так как $ F_{tr}=\mu N$, то первое уравнение перепишется так:

$$\mu N\cos \alpha + T - N\sin \alpha=0$$

Или так:

$$N\left(\mu\cos \alpha - \sin \alpha\right)=-T\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)$$

$$T= N\left(\sin \alpha - \mu\cos \alpha\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)$$

Теперь второе уравнение. В него тоже подставим $ F_{tr}=\mu N$:

$$ N\cos \alpha + \mu N\sin \alpha -mg =0$$

$$N\left(\cos \alpha + \mu \sin \alpha\right)=mg$$

$$N=\frac{ mg }{\cos \alpha + \mu \sin \alpha }$$

Подставив это в (**), получим

$$T=\frac{mg\left(\sin \alpha - \mu\cos \alpha\right)}{ \left(\cos \alpha + \mu \sin \alpha\right)}$$

Но, согласно правилу моментов относительно центра цилиндра,

$$ F_{tr}\cdot R=T\cdot R$$

$$ F_{tr}=T=\mu N$$

Подставим в (*):

$$ N\left(\mu\cos \alpha - \sin \alpha\right)=-\mu N$$

$$\sin \alpha - \mu\cos \alpha=\mu$$

$$\mu(1+\cos \alpha)= \sin \alpha$$

$$\mu=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$$

$$N=\frac{ mg }{\cos \alpha + \mu \sin \alpha }$$

$$N=\frac{ mg }{\cos \alpha + \frac{\sin^2 \alpha}{1+\cos \alpha } }$$

$$N=\frac{ mg }{\cos \alpha + \frac{1-\cos^2 \alpha}{1+\cos \alpha } }$$

$$N=\frac{ mg }{\cos \alpha + 1-\cos \alpha }$$

$$N=mg$$

$$T=\mu N=\mu mg=\frac{mg\sin \alpha}{1+\cos \alpha }$$

Ответ: $T=\frac{mg\sin \alpha}{1+\cos \alpha }$, при $\mu=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$.

Задача 2.

Тяжелый однородный шар подвешен на нити, конец которой закреплен на вертикальной стене. Точка прикрепления шара к нити находится на одной вертикали с центром шара. Каков должен быть коэффициент трения между шаром и стенкой, чтобы шар находился в равновесии?

Рисунок ко второй задаче.

Решение. Расставим силы. Оси введем традиционно: ось $y$ - вертикально, ось $x$ - горизонтально.

Расстановка сил во второй задаче.

В проекциях на оси пишем условия равновесия. На ось $x$:

$$N=T\sin \alpha$$

На ось $y$:

$$F_{tr}+T\cos \alpha=mg$$

Понадобится уравнение моментов относительно центра:

$$ F_{tr}\cdot R=T\sin \alpha \cdot R$$

По определению

$$ F_{tr} \leqslant \mu N=\mu T\sin \alpha$$

$$ T\sin \alpha \leqslant \mu T\sin \alpha$$

$$\mu \geqslant 1$$

Ответ: $\mu \geqslant 1$.